Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4612 / 8604
↖ ↑ ↗
← S  9.015302°
W 78.662110°		 ← 2 413.10 m → S  9.015302°
W 78.640137°		 →
↑
2 413.02 m
↓
↑
2 413.02 m
↓
S  9.037003°
W 78.662110°		 ← 2 412.95 m →
5 822 664 m²		 S  9.037003°
W 78.640137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281524658203125 y=0.525177001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281524658203125 × 214)
    floor (0.281524658203125 × 16384)
    floor (4612.5)     		tx = 4612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525177001953125 × 214)
    floor (0.525177001953125 × 16384)
    floor (8604.5)     		ty = 8604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4612 / 8604 ti = "14/4612/8604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4612/8604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4612 ÷ 214
    4612 ÷ 16384     		x = 0.281494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8604 ÷ 214
    8604 ÷ 16384     		y = 0.525146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281494140625 × 2 - 1) × π
    -0.43701171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37291281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525146484375 × 2 - 1) × π
    -0.05029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.158000021147705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37291281} λ = -1.37291281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.158000021147705))-π/2
    2×atan(0.853849763911519)-π/2
    2×0.70672480900922-π/2
    1.41344961801844-1.57079632675     		φ = -0.15734671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37291281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.662110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15734671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.015302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4612 KachelY 8604 -1.37291281 -0.15734671 -78.662110 -9.015302
    Oben rechts KachelX + 1 4613 KachelY 8604 -1.37252931 -0.15734671 -78.640137 -9.015302
    Unten links KachelX 4612 KachelY + 1 8605 -1.37291281 -0.15772546 -78.662110 -9.037003
    Unten rechts KachelX + 1 4613 KachelY + 1 8605 -1.37252931 -0.15772546 -78.640137 -9.037003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15734671--0.15772546) × R
    0.000378750000000011 × 6371000     		dl = 2413.01625000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15734671--0.15772546) × R
    0.000378750000000011 × 6371000     		dr = 2413.01625000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37291281--1.37252931) × cos(-0.15734671) × R
    0.000383500000000092 × 0.987646525271826 × 6371000     		do = 2413.09552079694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37291281--1.37252931) × cos(-0.15772546) × R
    0.000383500000000092 × 0.987587104971865 × 6371000     		du = 2412.95034045558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15734671)-sin(-0.15772546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987646525271826-0.987587104971865)×R²
    abs(-1.37252931--1.37291281)×5.94202999611992e-05×R²
    0.000383500000000092×5.94202999611992e-05×6371000²
    0.000383500000000092×5.94202999611992e-05×40589641000000     		ar = 5822663.61282966m²