Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4610 / 5676
↖ ↑ ↗
← N 75.375605°
W129.353027°		 ← 308.43 m → N 75.375605°
W129.342041°		 →
↑
308.48 m
↓
↑
308.48 m
↓
N 75.372831°
W129.353027°		 ← 308.48 m →
95 153 m²		 N 75.372831°
W129.342041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140701293945312 y=0.173233032226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140701293945312 × 215)
    floor (0.140701293945312 × 32768)
    floor (4610.5)     		tx = 4610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173233032226562 × 215)
    floor (0.173233032226562 × 32768)
    floor (5676.5)     		ty = 5676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4610 / 5676 ti = "15/4610/5676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4610/5676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4610 ÷ 215
    4610 ÷ 32768     		x = 0.14068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5676 ÷ 215
    5676 ÷ 32768     		y = 0.1732177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.7186279296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25763622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1732177734375 × 2 - 1) × π
    0.653564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.05323328452625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25763622} λ = -2.25763622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05323328452625))-π/2
    2×atan(7.79305758787073)-π/2
    2×1.44317440608579-π/2
    2.88634881217159-1.57079632675     		φ = 1.31555249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25763622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.353027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31555249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.375605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4610 KachelY 5676 -2.25763622 1.31555249 -129.353027 75.375605
    Oben rechts KachelX + 1 4611 KachelY 5676 -2.25744448 1.31555249 -129.342041 75.375605
    Unten links KachelX 4610 KachelY + 1 5677 -2.25763622 1.31550407 -129.353027 75.372831
    Unten rechts KachelX + 1 4611 KachelY + 1 5677 -2.25744448 1.31550407 -129.342041 75.372831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31555249-1.31550407) × R
    4.8419999999938e-05 × 6371000     		dl = 308.483819999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31555249-1.31550407) × R
    4.8419999999938e-05 × 6371000     		dr = 308.483819999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25763622--2.25744448) × cos(1.31555249) × R
    0.000191739999999996 × 0.2524813530498 × 6371000     		do = 308.425045191733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25763622--2.25744448) × cos(1.31550407) × R
    0.000191739999999996 × 0.25252820403104 × 6371000     		du = 308.482277204441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31555249)-sin(1.31550407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2524813530498-0.25252820403104)×R²
    abs(-2.25744448--2.25763622)×4.68509812402429e-05×R²
    0.000191739999999996×4.68509812402429e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.68509812402429e-05×40589641000000     		ar = 95152.9637179386m²