Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4610 / 4603
↖ ↑ ↗
← S 21.739091°
E 22.587890°		 ← 4 538.97 m → S 21.739091°
E 22.631836°		 →
↑
4 538.32 m
↓
↑
4 538.32 m
↓
S 21.779905°
E 22.587890°		 ← 4 537.68 m →
20 596 346 m²		 S 21.779905°
E 22.631836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56280517578125 y=0.56195068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56280517578125 × 213)
    floor (0.56280517578125 × 8192)
    floor (4610.5)     		tx = 4610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56195068359375 × 213)
    floor (0.56195068359375 × 8192)
    floor (4603.5)     		ty = 4603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4610 / 4603 ti = "13/4610/4603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4610/4603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4610 ÷ 213
    4610 ÷ 8192     		x = 0.562744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4603 ÷ 213
    4603 ÷ 8192     		y = 0.5618896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562744140625 × 2 - 1) × π
    0.12548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39423306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5618896484375 × 2 - 1) × π
    -0.123779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.388864129717896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39423306} λ = 0.39423306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.388864129717896))-π/2
    2×atan(0.677826360216449)-π/2
    2×0.595688804332324-π/2
    1.19137760866465-1.57079632675     		φ = -0.37941872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39423306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.587890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37941872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.739091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4610 KachelY 4603 0.39423306 -0.37941872 22.587890 -21.739091
    Oben rechts KachelX + 1 4611 KachelY 4603 0.39500005 -0.37941872 22.631836 -21.739091
    Unten links KachelX 4610 KachelY + 1 4604 0.39423306 -0.38013106 22.587890 -21.779905
    Unten rechts KachelX + 1 4611 KachelY + 1 4604 0.39500005 -0.38013106 22.631836 -21.779905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37941872--0.38013106) × R
    0.000712340000000034 × 6371000     		dl = 4538.31814000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37941872--0.38013106) × R
    0.000712340000000034 × 6371000     		dr = 4538.31814000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39423306-0.39500005) × cos(-0.37941872) × R
    0.000766989999999967 × 0.92888008732324 × 6371000     		do = 4538.96631391943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39423306-0.39500005) × cos(-0.38013106) × R
    0.000766989999999967 × 0.92861601476422 × 6371000     		du = 4537.67592513171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37941872)-sin(-0.38013106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92888008732324-0.92861601476422)×R²
    abs(0.39500005-0.39423306)×0.000264072559019835×R²
    0.000766989999999967×0.000264072559019835×6371000²
    0.000766989999999967×0.000264072559019835×40589641000000     		ar = 20596345.9328198m²