Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4610 / 4602
↖ ↑ ↗
← S 21.698265°
E 22.587890°		 ← 4 540.25 m → S 21.698265°
E 22.631836°		 →
↑
4 539.66 m
↓
↑
4 539.66 m
↓
S 21.739091°
E 22.587890°		 ← 4 538.97 m →
20 608 271 m²		 S 21.739091°
E 22.631836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56280517578125 y=0.56182861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56280517578125 × 213)
    floor (0.56280517578125 × 8192)
    floor (4610.5)     		tx = 4610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56182861328125 × 213)
    floor (0.56182861328125 × 8192)
    floor (4602.5)     		ty = 4602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4610 / 4602 ti = "13/4610/4602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4610/4602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4610 ÷ 213
    4610 ÷ 8192     		x = 0.562744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4602 ÷ 213
    4602 ÷ 8192     		y = 0.561767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562744140625 × 2 - 1) × π
    0.12548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39423306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.12353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.388097139323975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39423306} λ = 0.39423306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.388097139323975))-π/2
    2×atan(0.678346445948366)-π/2
    2×0.596045075956622-π/2
    1.19209015191324-1.57079632675     		φ = -0.37870617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39423306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.587890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37870617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.698265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4610 KachelY 4602 0.39423306 -0.37870617 22.587890 -21.698265
    Oben rechts KachelX + 1 4611 KachelY 4602 0.39500005 -0.37870617 22.631836 -21.698265
    Unten links KachelX 4610 KachelY + 1 4603 0.39423306 -0.37941872 22.587890 -21.739091
    Unten rechts KachelX + 1 4611 KachelY + 1 4603 0.39500005 -0.37941872 22.631836 -21.739091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37870617--0.37941872) × R
    0.000712549999999978 × 6371000     		dl = 4539.65604999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37870617--0.37941872) × R
    0.000712549999999978 × 6371000     		dr = 4539.65604999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39423306-0.39500005) × cos(-0.37870617) × R
    0.000766989999999967 × 0.929143766183191 × 6371000     		do = 4540.2547788993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39423306-0.39500005) × cos(-0.37941872) × R
    0.000766989999999967 × 0.92888008732324 × 6371000     		du = 4538.96631391943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37870617)-sin(-0.37941872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929143766183191-0.92888008732324)×R²
    abs(0.39500005-0.39423306)×0.000263678859950489×R²
    0.000766989999999967×0.000263678859950489×6371000²
    0.000766989999999967×0.000263678859950489×40589641000000     		ar = 20608271.3535988m²