Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4610 / 3586
↖ ↑ ↗
← N 70.598021°
W 78.706055°		 ← 811.64 m → N 70.598021°
W 78.684082°		 →
↑
811.73 m
↓
↑
811.73 m
↓
N 70.590721°
W 78.706055°		 ← 811.94 m →
658 952 m²		 N 70.590721°
W 78.684082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281402587890625 y=0.218902587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281402587890625 × 214)
    floor (0.281402587890625 × 16384)
    floor (4610.5)     		tx = 4610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218902587890625 × 214)
    floor (0.218902587890625 × 16384)
    floor (3586.5)     		ty = 3586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4610 / 3586 ti = "14/4610/3586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4610/3586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4610 ÷ 214
    4610 ÷ 16384     		x = 0.2813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3586 ÷ 214
    3586 ÷ 16384     		y = 0.2188720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.437255859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37367980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2188720703125 × 2 - 1) × π
    0.562255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76637887719983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37367980} λ = -1.37367980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76637887719983))-π/2
    2×atan(5.8496327248726)-π/2
    2×1.4014821207157-π/2
    2.80296424143139-1.57079632675     		φ = 1.23216791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37367980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23216791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.598021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4610 KachelY 3586 -1.37367980 1.23216791 -78.706055 70.598021
    Oben rechts KachelX + 1 4611 KachelY 3586 -1.37329630 1.23216791 -78.684082 70.598021
    Unten links KachelX 4610 KachelY + 1 3587 -1.37367980 1.23204050 -78.706055 70.590721
    Unten rechts KachelX + 1 4611 KachelY + 1 3587 -1.37329630 1.23204050 -78.684082 70.590721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23216791-1.23204050) × R
    0.000127409999999939 × 6371000     		dl = 811.729109999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23216791-1.23204050) × R
    0.000127409999999939 × 6371000     		dr = 811.729109999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37367980--1.37329630) × cos(1.23216791) × R
    0.00038349999999987 × 0.33219371239581 × 6371000     		do = 811.641755331591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37367980--1.37329630) × cos(1.23204050) × R
    0.00038349999999987 × 0.332313884236125 × 6371000     		du = 811.935368605338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23216791)-sin(1.23204050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33219371239581-0.332313884236125)×R²
    abs(-1.37329630--1.37367980)×0.000120171840314764×R²
    0.00038349999999987×0.000120171840314764×6371000²
    0.00038349999999987×0.000120171840314764×40589641000000     		ar = 658952.407805402m²