Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 461 / 333
↖ ↑ ↗
← N 76.310357°
W 98.964844°		 ← 4 625.80 m → N 76.310357°
W 98.789063°		 →
↑
4 632.67 m
↓
↑
4 632.67 m
↓
N 76.268695°
W 98.964844°		 ← 4 639.61 m →
21 461 798 m²		 N 76.268695°
W 98.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225341796875 y=0.162841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225341796875 × 211)
    floor (0.225341796875 × 2048)
    floor (461.5)     		tx = 461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162841796875 × 211)
    floor (0.162841796875 × 2048)
    floor (333.5)     		ty = 333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 461 / 333 ti = "11/461/333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/461/333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 461 ÷ 211
    461 ÷ 2048     		x = 0.22509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 333 ÷ 211
    333 ÷ 2048     		y = 0.16259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22509765625 × 2 - 1) × π
    -0.5498046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.72726237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16259765625 × 2 - 1) × π
    0.6748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11996144879736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72726237} λ = -1.72726237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11996144879736))-π/2
    2×atan(8.33081631850898)-π/2
    2×1.45133165964015-π/2
    2.9026633192803-1.57079632675     		φ = 1.33186699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72726237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33186699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.310357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 461 KachelY 333 -1.72726237 1.33186699 -98.964844 76.310357
    Oben rechts KachelX + 1 462 KachelY 333 -1.72419441 1.33186699 -98.789063 76.310357
    Unten links KachelX 461 KachelY + 1 334 -1.72726237 1.33113984 -98.964844 76.268695
    Unten rechts KachelX + 1 462 KachelY + 1 334 -1.72419441 1.33113984 -98.789063 76.268695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33186699-1.33113984) × R
    0.000727149999999899 × 6371000     		dl = 4632.67264999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33186699-1.33113984) × R
    0.000727149999999899 × 6371000     		dr = 4632.67264999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72726237--1.72419441) × cos(1.33186699) × R
    0.00306796000000009 × 0.236662514554843 × 6371000     		do = 4625.79915746721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72726237--1.72419441) × cos(1.33113984) × R
    0.00306796000000009 × 0.237368944988105 × 6371000     		du = 4639.60702775515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33186699)-sin(1.33113984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236662514554843-0.237368944988105)×R²
    abs(-1.72419441--1.72726237)×0.000706430433261546×R²
    0.00306796000000009×0.000706430433261546×6371000²
    0.00306796000000009×0.000706430433261546×40589641000000     		ar = 21461797.8583696m²