Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 461 / 241
↖ ↑ ↗
← N 68.528235°
W 17.929687°		 ← 14.309 km → N 68.528235°
W 17.578125°		 →
↑
14.350 km
↓
↑
14.350 km
↓
N 68.399180°
W 17.929687°		 ← 14.391 km →
205.930 km²		 N 68.399180°
W 17.578125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45068359375 y=0.23583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45068359375 × 210)
    floor (0.45068359375 × 1024)
    floor (461.5)     		tx = 461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23583984375 × 210)
    floor (0.23583984375 × 1024)
    floor (241.5)     		ty = 241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 461 / 241 ti = "10/461/241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/461/241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 461 ÷ 210
    461 ÷ 1024     		x = 0.4501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 241 ÷ 210
    241 ÷ 1024     		y = 0.2353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4501953125 × 2 - 1) × π
    -0.099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31293208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2353515625 × 2 - 1) × π
    0.529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.66283517402051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31293208} λ = -0.31293208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66283517402051))-π/2
    2×atan(5.27424306363645)-π/2
    2×1.38341982835931-π/2
    2.76683965671861-1.57079632675     		φ = 1.19604333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31293208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.929687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19604333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.528235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 461 KachelY 241 -0.31293208 1.19604333 -17.929687 68.528235
    Oben rechts KachelX + 1 462 KachelY 241 -0.30679616 1.19604333 -17.578125 68.528235
    Unten links KachelX 461 KachelY + 1 242 -0.31293208 1.19379090 -17.929687 68.399180
    Unten rechts KachelX + 1 462 KachelY + 1 242 -0.30679616 1.19379090 -17.578125 68.399180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19604333-1.19379090) × R
    0.00225242999999997 × 6371000     		dl = 14350.2315299998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19604333-1.19379090) × R
    0.00225242999999997 × 6371000     		dr = 14350.2315299998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31293208--0.30679616) × cos(1.19604333) × R
    0.00613592000000002 × 0.366042679550149 × 6371000     		do = 14309.3207798034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31293208--0.30679616) × cos(1.19379090) × R
    0.00613592000000002 × 0.368137856227506 × 6371000     		du = 14391.2253140056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19604333)-sin(1.19379090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366042679550149-0.368137856227506)×R²
    abs(-0.30679616--0.31293208)×0.00209517667735726×R²
    0.00613592000000002×0.00209517667735726×6371000²
    0.00613592000000002×0.00209517667735726×40589641000000     		ar = 205929827.806191m²