Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46099 / 82959
↖ ↑ ↗
← S 43.098977°
W 53.385315°		 ← 223.01 m → S 43.098977°
W 53.382568°		 →
↑
222.98 m
↓
↑
222.98 m
↓
S 43.100983°
W 53.385315°		 ← 223.01 m →
49 728 m²		 S 43.100983°
W 53.382568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.351711273193359 y=0.632930755615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.351711273193359 × 217)
    floor (0.351711273193359 × 131072)
    floor (46099.5)     		tx = 46099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632930755615234 × 217)
    floor (0.632930755615234 × 131072)
    floor (82959.5)     		ty = 82959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46099 / 82959 ti = "17/46099/82959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46099/82959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46099 ÷ 217
    46099 ÷ 131072     		x = 0.351707458496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82959 ÷ 217
    82959 ÷ 131072     		y = 0.632926940917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.351707458496094 × 2 - 1) × π
    -0.296585083007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.93174952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632926940917969 × 2 - 1) × π
    -0.265853881835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.835204602080238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93174952} λ = -0.93174952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.835204602080238))-π/2
    2×atan(0.433785718892337)-π/2
    2×0.409288633252123-π/2
    0.818577266504246-1.57079632675     		φ = -0.75221906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93174952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.385315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75221906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.098977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46099 KachelY 82959 -0.93174952 -0.75221906 -53.385315 -43.098977
    Oben rechts KachelX + 1 46100 KachelY 82959 -0.93170158 -0.75221906 -53.382568 -43.098977
    Unten links KachelX 46099 KachelY + 1 82960 -0.93174952 -0.75225406 -53.385315 -43.100983
    Unten rechts KachelX + 1 46100 KachelY + 1 82960 -0.93170158 -0.75225406 -53.382568 -43.100983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75221906--0.75225406) × R
    3.49999999998962e-05 × 6371000     		dl = 222.984999999339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75221906--0.75225406) × R
    3.49999999998962e-05 × 6371000     		dr = 222.984999999339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93174952--0.93170158) × cos(-0.75221906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.730174471307992 × 6371000     		do = 223.014078228206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93174952--0.93170158) × cos(-0.75225406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.730150556734798 × 6371000     		du = 223.006774101991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75221906)-sin(-0.75225406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730174471307992-0.730150556734798)×R²
    abs(-0.93170158--0.93174952)×2.39145731941726e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39145731941726e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39145731941726e-05×40589641000000     		ar = 49727.9798832494m²