Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46098 / 78865
↖ ↑ ↗
← S 34.345704°
W 53.388061°		 ← 252.12 m → S 34.345704°
W 53.385315°		 →
↑
252.10 m
↓
↑
252.10 m
↓
S 34.347971°
W 53.388061°		 ← 252.11 m →
63 559 m²		 S 34.347971°
W 53.385315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.351703643798828 y=0.601696014404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.351703643798828 × 217)
    floor (0.351703643798828 × 131072)
    floor (46098.5)     		tx = 46098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601696014404297 × 217)
    floor (0.601696014404297 × 131072)
    floor (78865.5)     		ty = 78865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46098 / 78865 ti = "17/46098/78865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46098/78865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46098 ÷ 217
    46098 ÷ 131072     		x = 0.351699829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78865 ÷ 217
    78865 ÷ 131072     		y = 0.601692199707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.351699829101562 × 2 - 1) × π
    -0.296600341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.93179745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601692199707031 × 2 - 1) × π
    -0.203384399414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.638950935035728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93179745} λ = -0.93179745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.638950935035728))-π/2
    2×atan(0.527845878305018)-π/2
    2×0.485675355700737-π/2
    0.971350711401475-1.57079632675     		φ = -0.59944562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93179745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.388061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59944562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.345704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46098 KachelY 78865 -0.93179745 -0.59944562 -53.388061 -34.345704
    Oben rechts KachelX + 1 46099 KachelY 78865 -0.93174952 -0.59944562 -53.385315 -34.345704
    Unten links KachelX 46098 KachelY + 1 78866 -0.93179745 -0.59948519 -53.388061 -34.347971
    Unten rechts KachelX + 1 46099 KachelY + 1 78866 -0.93174952 -0.59948519 -53.385315 -34.347971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59944562--0.59948519) × R
    3.95699999999888e-05 × 6371000     		dl = 252.100469999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59944562--0.59948519) × R
    3.95699999999888e-05 × 6371000     		dr = 252.100469999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93179745--0.93174952) × cos(-0.59944562) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.825648514559886 × 6371000     		do = 252.121706472646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93179745--0.93174952) × cos(-0.59948519) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.825626189119494 × 6371000     		du = 252.114889130847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59944562)-sin(-0.59948519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825648514559886-0.825626189119494)×R²
    abs(-0.93174952--0.93179745)×2.23254403918238e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.23254403918238e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.23254403918238e-05×40589641000000     		ar = 63559.141379672m²