Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4609 / 8613
↖ ↑ ↗
← S  9.210560°
W 78.728027°		 ← 2 411.71 m → S  9.210560°
W 78.706055°		 →
↑
2 411.68 m
↓
↑
2 411.68 m
↓
S  9.232249°
W 78.728027°		 ← 2 411.57 m →
5 816 099 m²		 S  9.232249°
W 78.706055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281341552734375 y=0.525726318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281341552734375 × 214)
    floor (0.281341552734375 × 16384)
    floor (4609.5)     		tx = 4609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525726318359375 × 214)
    floor (0.525726318359375 × 16384)
    floor (8613.5)     		ty = 8613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4609 / 8613 ti = "14/4609/8613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4609/8613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4609 ÷ 214
    4609 ÷ 16384     		x = 0.28131103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8613 ÷ 214
    8613 ÷ 16384     		y = 0.52569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28131103515625 × 2 - 1) × π
    -0.4373779296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37406329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.0513916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.161451477920349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37406329} λ = -1.37406329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.161451477920349))-π/2
    2×atan(0.850907818280638)-π/2
    2×0.705020863484235-π/2
    1.41004172696847-1.57079632675     		φ = -0.16075460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37406329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.728027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16075460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.210560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4609 KachelY 8613 -1.37406329 -0.16075460 -78.728027 -9.210560
    Oben rechts KachelX + 1 4610 KachelY 8613 -1.37367980 -0.16075460 -78.706055 -9.210560
    Unten links KachelX 4609 KachelY + 1 8614 -1.37406329 -0.16113314 -78.728027 -9.232249
    Unten rechts KachelX + 1 4610 KachelY + 1 8614 -1.37367980 -0.16113314 -78.706055 -9.232249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16075460--0.16113314) × R
    0.000378540000000011 × 6371000     		dl = 2411.67834000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16075460--0.16113314) × R
    0.000378540000000011 × 6371000     		dr = 2411.67834000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37406329--1.37367980) × cos(-0.16075460) × R
    0.000383490000000153 × 0.987106780794286 × 6371000     		do = 2411.71388614685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37406329--1.37367980) × cos(-0.16113314) × R
    0.000383490000000153 × 0.98704611977868 × 6371000     		du = 2411.56567825634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16075460)-sin(-0.16113314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987106780794286-0.98704611977868)×R²
    abs(-1.37367980--1.37406329)×6.06610156064225e-05×R²
    0.000383490000000153×6.06610156064225e-05×6371000²
    0.000383490000000153×6.06610156064225e-05×40589641000000     		ar = 5816099.49606828m²