Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4609 / 5627
↖ ↑ ↗
← N 75.510907°
W129.364014°		 ← 305.65 m → N 75.510907°
W129.353027°		 →
↑
305.62 m
↓
↑
305.62 m
↓
N 75.508159°
W129.364014°		 ← 305.71 m →
93 420 m²		 N 75.508159°
W129.353027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140670776367188 y=0.171737670898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140670776367188 × 215)
    floor (0.140670776367188 × 32768)
    floor (4609.5)     		tx = 4609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171737670898438 × 215)
    floor (0.171737670898438 × 32768)
    floor (5627.5)     		ty = 5627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4609 / 5627 ti = "15/4609/5627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4609/5627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4609 ÷ 215
    4609 ÷ 32768     		x = 0.140655517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5627 ÷ 215
    5627 ÷ 32768     		y = 0.171722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140655517578125 × 2 - 1) × π
    -0.71868896484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.25782797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171722412109375 × 2 - 1) × π
    0.65655517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06262891685178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25782797} λ = -2.25782797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06262891685178))-π/2
    2×atan(7.86662334889406)-π/2
    2×1.44435514068559-π/2
    2.88871028137118-1.57079632675     		φ = 1.31791395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25782797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.364014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31791395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.510907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4609 KachelY 5627 -2.25782797 1.31791395 -129.364014 75.510907
    Oben rechts KachelX + 1 4610 KachelY 5627 -2.25763622 1.31791395 -129.353027 75.510907
    Unten links KachelX 4609 KachelY + 1 5628 -2.25782797 1.31786598 -129.364014 75.508159
    Unten rechts KachelX + 1 4610 KachelY + 1 5628 -2.25763622 1.31786598 -129.353027 75.508159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31791395-1.31786598) × R
    4.79699999997862e-05 × 6371000     		dl = 305.616869998638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31791395-1.31786598) × R
    4.79699999997862e-05 × 6371000     		dr = 305.616869998638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25782797--2.25763622) × cos(1.31791395) × R
    0.000191749999999935 × 0.25019569834084 × 6371000     		do = 305.648885274227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25782797--2.25763622) × cos(1.31786598) × R
    0.000191749999999935 × 0.250242142380844 × 6371000     		du = 305.705623136424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31791395)-sin(1.31786598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25019569834084-0.250242142380844)×R²
    abs(-2.25763622--2.25782797)×4.64440400034238e-05×R²
    0.000191749999999935×4.64440400034238e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.64440400034238e-05×40589641000000     		ar = 93420.1256780264m²