Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46087 / 78843
↖ ↑ ↗
← S 34.295799°
W 53.418274°		 ← 252.32 m → S 34.295799°
W 53.415527°		 →
↑
252.29 m
↓
↑
252.29 m
↓
S 34.298068°
W 53.418274°		 ← 252.32 m →
63 658 m²		 S 34.298068°
W 53.415527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.351619720458984 y=0.601528167724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.351619720458984 × 217)
    floor (0.351619720458984 × 131072)
    floor (46087.5)     		tx = 46087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601528167724609 × 217)
    floor (0.601528167724609 × 131072)
    floor (78843.5)     		ty = 78843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46087 / 78843 ti = "17/46087/78843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46087/78843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46087 ÷ 217
    46087 ÷ 131072     		x = 0.351615905761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78843 ÷ 217
    78843 ÷ 131072     		y = 0.601524353027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.351615905761719 × 2 - 1) × π
    -0.296768188476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.93232476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601524353027344 × 2 - 1) × π
    -0.203048706054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.637896323244087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93232476} λ = -0.93232476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.637896323244087))-π/2
    2×atan(0.528402844432348)-π/2
    2×0.486110854523847-π/2
    0.972221709047694-1.57079632675     		φ = -0.59857462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93232476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.418274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59857462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.295799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46087 KachelY 78843 -0.93232476 -0.59857462 -53.418274 -34.295799
    Oben rechts KachelX + 1 46088 KachelY 78843 -0.93227682 -0.59857462 -53.415527 -34.295799
    Unten links KachelX 46087 KachelY + 1 78844 -0.93232476 -0.59861422 -53.418274 -34.298068
    Unten rechts KachelX + 1 46088 KachelY + 1 78844 -0.93227682 -0.59861422 -53.415527 -34.298068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59857462--0.59861422) × R
    3.96000000000285e-05 × 6371000     		dl = 252.291600000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59857462--0.59861422) × R
    3.96000000000285e-05 × 6371000     		dr = 252.291600000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93232476--0.93227682) × cos(-0.59857462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.826139606305473 × 6371000     		do = 252.324300598992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93232476--0.93227682) × cos(-0.59861422) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.82611729242458 × 6371000     		du = 252.317485365408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59857462)-sin(-0.59861422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826139606305473-0.82611729242458)×R²
    abs(-0.93227682--0.93232476)×2.23138808931322e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23138808931322e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23138808931322e-05×40589641000000     		ar = 63658.4418122765m²