Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46082 / 56322
↖ ↑ ↗
← N 24.522137°
W 53.432007°		 ← 277.88 m → N 24.522137°
W 53.429260°		 →
↑
277.84 m
↓
↑
277.84 m
↓
N 24.519638°
W 53.432007°		 ← 277.88 m →
77 206 m²		 N 24.519638°
W 53.429260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.351581573486328 y=0.429706573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.351581573486328 × 217)
    floor (0.351581573486328 × 131072)
    floor (46082.5)     		tx = 46082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429706573486328 × 217)
    floor (0.429706573486328 × 131072)
    floor (56322.5)     		ty = 56322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46082 / 56322 ti = "17/46082/56322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46082/56322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46082 ÷ 217
    46082 ÷ 131072     		x = 0.351577758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56322 ÷ 217
    56322 ÷ 131072     		y = 0.429702758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.351577758789062 × 2 - 1) × π
    -0.296844482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.93256445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429702758789062 × 2 - 1) × π
    0.140594482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.441690593099197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93256445} λ = -0.93256445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441690593099197))-π/2
    2×atan(1.55533443477113)-π/2
    2×0.999394180588715-π/2
    1.99878836117743-1.57079632675     		φ = 0.42799203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93256445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.432007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42799203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.522137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46082 KachelY 56322 -0.93256445 0.42799203 -53.432007 24.522137
    Oben rechts KachelX + 1 46083 KachelY 56322 -0.93251651 0.42799203 -53.429260 24.522137
    Unten links KachelX 46082 KachelY + 1 56323 -0.93256445 0.42794842 -53.432007 24.519638
    Unten rechts KachelX + 1 46083 KachelY + 1 56323 -0.93251651 0.42794842 -53.429260 24.519638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42799203-0.42794842) × R
    4.36100000000272e-05 × 6371000     		dl = 277.839310000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42799203-0.42794842) × R
    4.36100000000272e-05 × 6371000     		dr = 277.839310000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93256445--0.93251651) × cos(0.42799203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.909800980728873 × 6371000     		do = 277.87663779166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93256445--0.93251651) × cos(0.42794842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.909819079966897 × 6371000     		du = 277.882165764826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42799203)-sin(0.42794842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909800980728873-0.909819079966897)×R²
    abs(-0.93251651--0.93256445)×1.80992380240941e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80992380240941e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80992380240941e-05×40589641000000     		ar = 77205.8212655319m²