Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4608 / 8609
↖ ↑ ↗
← S  9.123792°
W 78.750000°		 ← 2 412.37 m → S  9.123792°
W 78.728027°		 →
↑
2 412.25 m
↓
↑
2 412.25 m
↓
S  9.145486°
W 78.750000°		 ← 2 412.22 m →
5 819 058 m²		 S  9.145486°
W 78.728027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281280517578125 y=0.525482177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281280517578125 × 214)
    floor (0.281280517578125 × 16384)
    floor (4608.5)     		tx = 4608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525482177734375 × 214)
    floor (0.525482177734375 × 16384)
    floor (8609.5)     		ty = 8609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4608 / 8609 ti = "14/4608/8609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4608/8609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4608 ÷ 214
    4608 ÷ 16384     		x = 0.28125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8609 ÷ 214
    8609 ÷ 16384     		y = 0.52545166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28125 × 2 - 1) × π
    -0.4375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37444679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52545166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0509033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.159917497132507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37444679} λ = -1.37444679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159917497132507))-π/2
    2×atan(0.85221409617255)-π/2
    2×0.705778057568081-π/2
    1.41155611513616-1.57079632675     		φ = -0.15924021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37444679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15924021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.123792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4608 KachelY 8609 -1.37444679 -0.15924021 -78.750000 -9.123792
    Oben rechts KachelX + 1 4609 KachelY 8609 -1.37406329 -0.15924021 -78.728027 -9.123792
    Unten links KachelX 4608 KachelY + 1 8610 -1.37444679 -0.15961884 -78.750000 -9.145486
    Unten rechts KachelX + 1 4609 KachelY + 1 8610 -1.37406329 -0.15961884 -78.728027 -9.145486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15924021--0.15961884) × R
    0.000378630000000019 × 6371000     		dl = 2412.25173000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15924021--0.15961884) × R
    0.000378630000000019 × 6371000     		dr = 2412.25173000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37444679--1.37406329) × cos(-0.15924021) × R
    0.00038349999999987 × 0.987348046790498 × 6371000     		do = 2412.3662547394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37444679--1.37406329) × cos(-0.15961884) × R
    0.00038349999999987 × 0.987287937388147 × 6371000     		du = 2412.21939072899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15924021)-sin(-0.15961884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987348046790498-0.987287937388147)×R²
    abs(-1.37406329--1.37444679)×6.01094023512383e-05×R²
    0.00038349999999987×6.01094023512383e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.01094023512383e-05×40589641000000     		ar = 5819057.60442631m²