Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4608 / 5630
↖ ↑ ↗
← N 75.502659°
W129.375000°		 ← 305.82 m → N 75.502659°
W129.364014°		 →
↑
305.81 m
↓
↑
305.81 m
↓
N 75.499909°
W129.375000°		 ← 305.88 m →
93 531 m²		 N 75.499909°
W129.364014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140640258789062 y=0.171829223632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140640258789062 × 215)
    floor (0.140640258789062 × 32768)
    floor (4608.5)     		tx = 4608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171829223632812 × 215)
    floor (0.171829223632812 × 32768)
    floor (5630.5)     		ty = 5630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4608 / 5630 ti = "15/4608/5630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4608/5630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4608 ÷ 215
    4608 ÷ 32768     		x = 0.140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5630 ÷ 215
    5630 ÷ 32768     		y = 0.17181396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140625 × 2 - 1) × π
    -0.71875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25801972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17181396484375 × 2 - 1) × π
    0.6563720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06205367405634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25801972} λ = -2.25801972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06205367405634))-π/2
    2×atan(7.86209943178827)-π/2
    2×1.44428315900751-π/2
    2.88856631801502-1.57079632675     		φ = 1.31776999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25801972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31776999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.502659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4608 KachelY 5630 -2.25801972 1.31776999 -129.375000 75.502659
    Oben rechts KachelX + 1 4609 KachelY 5630 -2.25782797 1.31776999 -129.364014 75.502659
    Unten links KachelX 4608 KachelY + 1 5631 -2.25801972 1.31772199 -129.375000 75.499909
    Unten rechts KachelX + 1 4609 KachelY + 1 5631 -2.25782797 1.31772199 -129.364014 75.499909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31776999-1.31772199) × R
    4.8000000000048e-05 × 6371000     		dl = 305.808000000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31776999-1.31772199) × R
    4.8000000000048e-05 × 6371000     		dr = 305.808000000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25801972--2.25782797) × cos(1.31776999) × R
    0.000191749999999935 × 0.250335077141195 × 6371000     		do = 305.819155887358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25801972--2.25782797) × cos(1.31772199) × R
    0.000191749999999935 × 0.250381548497183 × 6371000     		du = 305.875927119834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31776999)-sin(1.31772199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250335077141195-0.250381548497183)×R²
    abs(-2.25782797--2.25801972)×4.64713559876762e-05×R²
    0.000191749999999935×4.64713559876762e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.64713559876762e-05×40589641000000     		ar = 93530.6249903863m²