Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4608 / 4601
↖ ↑ ↗
← S 21.657428°
E 22.500000°		 ← 4 541.54 m → S 21.657428°
E 22.543945°		 →
↑
4 540.87 m
↓
↑
4 540.87 m
↓
S 21.698265°
E 22.500000°		 ← 4 540.25 m →
20 619 613 m²		 S 21.698265°
E 22.543945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56256103515625 y=0.56170654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56256103515625 × 213)
    floor (0.56256103515625 × 8192)
    floor (4608.5)     		tx = 4608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56170654296875 × 213)
    floor (0.56170654296875 × 8192)
    floor (4601.5)     		ty = 4601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4608 / 4601 ti = "13/4608/4601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4608/4601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4608 ÷ 213
    4608 ÷ 8192     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4601 ÷ 213
    4601 ÷ 8192     		y = 0.5616455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5616455078125 × 2 - 1) × π
    -0.123291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.387330148930054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.387330148930054))-π/2
    2×atan(0.678866930734058)-π/2
    2×0.596401448623404-π/2
    1.19280289724681-1.57079632675     		φ = -0.37799343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37799343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.657428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4608 KachelY 4601 0.39269908 -0.37799343 22.500000 -21.657428
    Oben rechts KachelX + 1 4609 KachelY 4601 0.39346607 -0.37799343 22.543945 -21.657428
    Unten links KachelX 4608 KachelY + 1 4602 0.39269908 -0.37870617 22.500000 -21.698265
    Unten rechts KachelX + 1 4609 KachelY + 1 4602 0.39346607 -0.37870617 22.543945 -21.698265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37799343--0.37870617) × R
    0.000712739999999989 × 6371000     		dl = 4540.86653999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37799343--0.37870617) × R
    0.000712739999999989 × 6371000     		dr = 4540.86653999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.39346607) × cos(-0.37799343) × R
    0.000766990000000023 × 0.92940704341203 × 6371000     		do = 4541.54128131176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.39346607) × cos(-0.37870617) × R
    0.000766990000000023 × 0.929143766183191 × 6371000     		du = 4540.25477889963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37799343)-sin(-0.37870617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92940704341203-0.929143766183191)×R²
    abs(0.39346607-0.39269908)×0.000263277228839121×R²
    0.000766990000000023×0.000263277228839121×6371000²
    0.000766990000000023×0.000263277228839121×40589641000000     		ar = 20619612.7993537m²