Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4607 / 8606
↖ ↑ ↗
← S  9.058702°
W 78.771973°		 ← 2 412.74 m → S  9.058702°
W 78.750000°		 →
↑
2 412.70 m
↓
↑
2 412.70 m
↓
S  9.080400°
W 78.771973°		 ← 2 412.60 m →
5 821 041 m²		 S  9.080400°
W 78.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281219482421875 y=0.525299072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281219482421875 × 214)
    floor (0.281219482421875 × 16384)
    floor (4607.5)     		tx = 4607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525299072265625 × 214)
    floor (0.525299072265625 × 16384)
    floor (8606.5)     		ty = 8606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4607 / 8606 ti = "14/4607/8606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4607/8606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4607 ÷ 214
    4607 ÷ 16384     		x = 0.28118896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8606 ÷ 214
    8606 ÷ 16384     		y = 0.5252685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28118896484375 × 2 - 1) × π
    -0.4376220703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.37483028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5252685546875 × 2 - 1) × π
    -0.050537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.158767011541626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37483028} λ = -1.37483028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.158767011541626))-π/2
    2×atan(0.85319512042947)-π/2
    2×0.706346074106412-π/2
    1.41269214821282-1.57079632675     		φ = -0.15810418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37483028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.771973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15810418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.058702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4607 KachelY 8606 -1.37483028 -0.15810418 -78.771973 -9.058702
    Oben rechts KachelX + 1 4608 KachelY 8606 -1.37444679 -0.15810418 -78.750000 -9.058702
    Unten links KachelX 4607 KachelY + 1 8607 -1.37483028 -0.15848288 -78.771973 -9.080400
    Unten rechts KachelX + 1 4608 KachelY + 1 8607 -1.37444679 -0.15848288 -78.750000 -9.080400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15810418--0.15848288) × R
    0.000378699999999982 × 6371000     		dl = 2412.69769999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15810418--0.15848288) × R
    0.000378699999999982 × 6371000     		dr = 2412.69769999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37483028--1.37444679) × cos(-0.15810418) × R
    0.000383490000000153 × 0.987527547724382 × 6371000     		do = 2412.7419101336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37483028--1.37444679) × cos(-0.15848288) × R
    0.000383490000000153 × 0.987467851993377 × 6371000     		du = 2412.59606064071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15810418)-sin(-0.15848288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987527547724382-0.987467851993377)×R²
    abs(-1.37444679--1.37483028)×5.96957310043944e-05×R²
    0.000383490000000153×5.96957310043944e-05×6371000²
    0.000383490000000153×5.96957310043944e-05×40589641000000     		ar = 5821040.98147294m²