Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46065 / 78897
↖ ↑ ↗
← S 34.418239°
W 53.478699°		 ← 251.90 m → S 34.418239°
W 53.475952°		 →
↑
251.91 m
↓
↑
251.91 m
↓
S 34.420505°
W 53.478699°		 ← 251.90 m →
63 456 m²		 S 34.420505°
W 53.475952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.351451873779297 y=0.601940155029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.351451873779297 × 217)
    floor (0.351451873779297 × 131072)
    floor (46065.5)     		tx = 46065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601940155029297 × 217)
    floor (0.601940155029297 × 131072)
    floor (78897.5)     		ty = 78897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46065 / 78897 ti = "17/46065/78897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46065/78897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46065 ÷ 217
    46065 ÷ 131072     		x = 0.351448059082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78897 ÷ 217
    78897 ÷ 131072     		y = 0.601936340332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.351448059082031 × 2 - 1) × π
    -0.297103881835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.93337937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601936340332031 × 2 - 1) × π
    -0.203872680664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.64048491582357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93337937} λ = -0.93337937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.64048491582357))-π/2
    2×atan(0.527036793587617)-π/2
    2×0.485042365338365-π/2
    0.97008473067673-1.57079632675     		φ = -0.60071160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93337937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.478699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60071160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.418239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46065 KachelY 78897 -0.93337937 -0.60071160 -53.478699 -34.418239
    Oben rechts KachelX + 1 46066 KachelY 78897 -0.93333144 -0.60071160 -53.475952 -34.418239
    Unten links KachelX 46065 KachelY + 1 78898 -0.93337937 -0.60075114 -53.478699 -34.420505
    Unten rechts KachelX + 1 46066 KachelY + 1 78898 -0.93333144 -0.60075114 -53.475952 -34.420505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60071160--0.60075114) × R
    3.95399999999491e-05 × 6371000     		dl = 251.909339999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60071160--0.60075114) × R
    3.95399999999491e-05 × 6371000     		dr = 251.909339999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93337937--0.93333144) × cos(-0.60071160) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.82493360639505 × 6371000     		do = 251.903400664168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93337937--0.93333144) × cos(-0.60075114) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.824911256570266 × 6371000     		du = 251.896575876301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60071160)-sin(-0.60075114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82493360639505-0.824911256570266)×R²
    abs(-0.93333144--0.93337937)×2.23498247838849e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.23498247838849e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.23498247838849e-05×40589641000000     		ar = 63455.9597995522m²