Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4606 / 5618
↖ ↑ ↗
← N 75.535625°
W129.396972°		 ← 305.12 m → N 75.535625°
W129.385986°		 →
↑
305.11 m
↓
↑
305.11 m
↓
N 75.532881°
W129.396972°		 ← 305.18 m →
93 104 m²		 N 75.532881°
W129.385986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140579223632812 y=0.171463012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140579223632812 × 215)
    floor (0.140579223632812 × 32768)
    floor (4606.5)     		tx = 4606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171463012695312 × 215)
    floor (0.171463012695312 × 32768)
    floor (5618.5)     		ty = 5618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4606 / 5618 ti = "15/4606/5618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4606/5618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4606 ÷ 215
    4606 ÷ 32768     		x = 0.14056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5618 ÷ 215
    5618 ÷ 32768     		y = 0.17144775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.7188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.25840321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17144775390625 × 2 - 1) × π
    0.6571044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.0643546452381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25840321} λ = -2.25840321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0643546452381))-π/2
    2×atan(7.88021072479981)-π/2
    2×1.44457084533006-π/2
    2.88914169066013-1.57079632675     		φ = 1.31834536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25840321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.396972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31834536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.535625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4606 KachelY 5618 -2.25840321 1.31834536 -129.396972 75.535625
    Oben rechts KachelX + 1 4607 KachelY 5618 -2.25821147 1.31834536 -129.385986 75.535625
    Unten links KachelX 4606 KachelY + 1 5619 -2.25840321 1.31829747 -129.396972 75.532881
    Unten rechts KachelX + 1 4607 KachelY + 1 5619 -2.25821147 1.31829747 -129.385986 75.532881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31834536-1.31829747) × R
    4.78899999998283e-05 × 6371000     		dl = 305.107189998906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31834536-1.31829747) × R
    4.78899999998283e-05 × 6371000     		dr = 305.107189998906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25840321--2.25821147) × cos(1.31834536) × R
    0.000191739999999996 × 0.249777985942773 × 6371000     		do = 305.122678058149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25840321--2.25821147) × cos(1.31829747) × R
    0.000191739999999996 × 0.249824357693377 × 6371000     		du = 305.179324654433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31834536)-sin(1.31829747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249777985942773-0.249824357693377)×R²
    abs(-2.25821147--2.25840321)×4.63717506034855e-05×R²
    0.000191739999999996×4.63717506034855e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.63717506034855e-05×40589641000000     		ar = 93103.7645665747m²