Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4606 / 4598
↖ ↑ ↗
← S 21.534847°
E 22.412109°		 ← 4 545.39 m → S 21.534847°
E 22.456055°		 →
↑
4 544.75 m
↓
↑
4 544.75 m
↓
S 21.575719°
E 22.412109°		 ← 4 544.11 m →
20 654 761 m²		 S 21.575719°
E 22.456055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56231689453125 y=0.56134033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56231689453125 × 213)
    floor (0.56231689453125 × 8192)
    floor (4606.5)     		tx = 4606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56134033203125 × 213)
    floor (0.56134033203125 × 8192)
    floor (4598.5)     		ty = 4598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4606 / 4598 ti = "13/4606/4598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4606/4598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4606 ÷ 213
    4606 ÷ 8192     		x = 0.562255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4598 ÷ 213
    4598 ÷ 8192     		y = 0.561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562255859375 × 2 - 1) × π
    0.12451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39116510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561279296875 × 2 - 1) × π
    -0.12255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.385029177748291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39116510} λ = 0.39116510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.385029177748291))-π/2
    2×atan(0.680430782476845)-π/2
    2×0.597471171353076-π/2
    1.19494234270615-1.57079632675     		φ = -0.37585398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39116510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.412109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37585398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.534847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4606 KachelY 4598 0.39116510 -0.37585398 22.412109 -21.534847
    Oben rechts KachelX + 1 4607 KachelY 4598 0.39193209 -0.37585398 22.456055 -21.534847
    Unten links KachelX 4606 KachelY + 1 4599 0.39116510 -0.37656733 22.412109 -21.575719
    Unten rechts KachelX + 1 4607 KachelY + 1 4599 0.39193209 -0.37656733 22.456055 -21.575719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37585398--0.37656733) × R
    0.000713350000000001 × 6371000     		dl = 4544.75285000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37585398--0.37656733) × R
    0.000713350000000001 × 6371000     		dr = 4544.75285000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39116510-0.39193209) × cos(-0.37585398) × R
    0.000766990000000023 × 0.930194493234809 × 6371000     		do = 4545.38914958698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39116510-0.39193209) × cos(-0.37656733) × R
    0.000766990000000023 × 0.929932409317731 × 6371000     		du = 4544.10847828476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37585398)-sin(-0.37656733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930194493234809-0.929932409317731)×R²
    abs(0.39193209-0.39116510)×0.000262083917077716×R²
    0.000766990000000023×0.000262083917077716×6371000²
    0.000766990000000023×0.000262083917077716×40589641000000     		ar = 20654761.0005476m²