Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4605 / 5629
↖ ↑ ↗
← N 75.505409°
W129.407959°		 ← 305.76 m → N 75.505409°
W129.396972°		 →
↑
305.81 m
↓
↑
305.81 m
↓
N 75.502659°
W129.407959°		 ← 305.82 m →
93 513 m²		 N 75.502659°
W129.396972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140548706054688 y=0.171798706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140548706054688 × 215)
    floor (0.140548706054688 × 32768)
    floor (4605.5)     		tx = 4605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171798706054688 × 215)
    floor (0.171798706054688 × 32768)
    floor (5629.5)     		ty = 5629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4605 / 5629 ti = "15/4605/5629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4605/5629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4605 ÷ 215
    4605 ÷ 32768     		x = 0.140533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5629 ÷ 215
    5629 ÷ 32768     		y = 0.171783447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140533447265625 × 2 - 1) × π
    -0.71893310546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25859496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171783447265625 × 2 - 1) × π
    0.65643310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06224542165482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25859496} λ = -2.25859496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06224542165482))-π/2
    2×atan(7.86360711501603)-π/2
    2×1.44430715735469-π/2
    2.88861431470938-1.57079632675     		φ = 1.31781799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25859496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.407959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31781799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.505409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4605 KachelY 5629 -2.25859496 1.31781799 -129.407959 75.505409
    Oben rechts KachelX + 1 4606 KachelY 5629 -2.25840321 1.31781799 -129.396972 75.505409
    Unten links KachelX 4605 KachelY + 1 5630 -2.25859496 1.31776999 -129.407959 75.502659
    Unten rechts KachelX + 1 4606 KachelY + 1 5630 -2.25840321 1.31776999 -129.396972 75.502659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31781799-1.31776999) × R
    4.8000000000048e-05 × 6371000     		dl = 305.808000000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31781799-1.31776999) × R
    4.8000000000048e-05 × 6371000     		dr = 305.808000000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25859496--2.25840321) × cos(1.31781799) × R
    0.000191749999999935 × 0.250288605208436 × 6371000     		do = 305.762383950276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25859496--2.25840321) × cos(1.31776999) × R
    0.000191749999999935 × 0.250335077141195 × 6371000     		du = 305.819155887358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31781799)-sin(1.31776999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250288605208436-0.250335077141195)×R²
    abs(-2.25840321--2.25859496)×4.64719327596952e-05×R²
    0.000191749999999935×4.64719327596952e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.64719327596952e-05×40589641000000     		ar = 93513.2637849897m²