Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46032 / 56146
↖ ↑ ↗
← N 24.961160°
W 53.569336°		 ← 276.90 m → N 24.961160°
W 53.566589°		 →
↑
276.88 m
↓
↑
276.88 m
↓
N 24.958670°
W 53.569336°		 ← 276.90 m →
76 669 m²		 N 24.958670°
W 53.566589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.351200103759766 y=0.428363800048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.351200103759766 × 217)
    floor (0.351200103759766 × 131072)
    floor (46032.5)     		tx = 46032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428363800048828 × 217)
    floor (0.428363800048828 × 131072)
    floor (56146.5)     		ty = 56146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46032 / 56146 ti = "17/46032/56146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46032/56146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46032 ÷ 217
    46032 ÷ 131072     		x = 0.3511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56146 ÷ 217
    56146 ÷ 131072     		y = 0.428359985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3511962890625 × 2 - 1) × π
    -0.297607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.93496129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428359985351562 × 2 - 1) × π
    0.143280029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.450127487432327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93496129} λ = -0.93496129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450127487432327))-π/2
    2×atan(1.56851213832925)-π/2
    2×1.0032253786146-π/2
    2.00645075722919-1.57079632675     		φ = 0.43565443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93496129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.569336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43565443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.961160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46032 KachelY 56146 -0.93496129 0.43565443 -53.569336 24.961160
    Oben rechts KachelX + 1 46033 KachelY 56146 -0.93491335 0.43565443 -53.566589 24.961160
    Unten links KachelX 46032 KachelY + 1 56147 -0.93496129 0.43561097 -53.569336 24.958670
    Unten rechts KachelX + 1 46033 KachelY + 1 56147 -0.93491335 0.43561097 -53.566589 24.958670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43565443-0.43561097) × R
    4.34599999999952e-05 × 6371000     		dl = 276.883659999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43565443-0.43561097) × R
    4.34599999999952e-05 × 6371000     		dr = 276.883659999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93496129--0.93491335) × cos(0.43565443) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.906594064513535 × 6371000     		do = 276.897163033473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93496129--0.93491335) × cos(0.43561097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.906612403942244 × 6371000     		du = 276.902764367057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43565443)-sin(0.43561097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906594064513535-0.906612403942244)×R²
    abs(-0.93491335--0.93496129)×1.83394287088801e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83394287088801e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83394287088801e-05×40589641000000     		ar = 76669.0754152528m²