Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4602 / 5638
↖ ↑ ↗
← N 75.480641°
W129.440918°		 ← 306.27 m → N 75.480641°
W129.429932°		 →
↑
306.32 m
↓
↑
306.32 m
↓
N 75.477886°
W129.440918°		 ← 306.33 m →
93 826 m²		 N 75.477886°
W129.429932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140457153320312 y=0.172073364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140457153320312 × 215)
    floor (0.140457153320312 × 32768)
    floor (4602.5)     		tx = 4602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172073364257812 × 215)
    floor (0.172073364257812 × 32768)
    floor (5638.5)     		ty = 5638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4602 / 5638 ti = "15/4602/5638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4602/5638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4602 ÷ 215
    4602 ÷ 32768     		x = 0.14044189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5638 ÷ 215
    5638 ÷ 32768     		y = 0.17205810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14044189453125 × 2 - 1) × π
    -0.7191162109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.25917021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17205810546875 × 2 - 1) × π
    0.6558837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06051969326849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25917021} λ = -2.25917021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06051969326849))-π/2
    2×atan(7.85004836772129)-π/2
    2×1.44409101176647-π/2
    2.88818202353294-1.57079632675     		φ = 1.31738570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25917021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.440918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31738570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.480641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4602 KachelY 5638 -2.25917021 1.31738570 -129.440918 75.480641
    Oben rechts KachelX + 1 4603 KachelY 5638 -2.25897846 1.31738570 -129.429932 75.480641
    Unten links KachelX 4602 KachelY + 1 5639 -2.25917021 1.31733762 -129.440918 75.477886
    Unten rechts KachelX + 1 4603 KachelY + 1 5639 -2.25897846 1.31733762 -129.429932 75.477886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31738570-1.31733762) × R
    4.80800000000059e-05 × 6371000     		dl = 306.317680000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31738570-1.31733762) × R
    4.80800000000059e-05 × 6371000     		dr = 306.317680000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25917021--2.25897846) × cos(1.31738570) × R
    0.000191750000000379 × 0.250707112568762 × 6371000     		do = 306.273648968774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25917021--2.25897846) × cos(1.31733762) × R
    0.000191750000000379 × 0.250753656747304 × 6371000     		du = 306.33050916414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31738570)-sin(1.31733762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250707112568762-0.250753656747304)×R²
    abs(-2.25897846--2.25917021)×4.65441785421628e-05×R²
    0.000191750000000379×4.65441785421628e-05×6371000²
    0.000191750000000379×4.65441785421628e-05×40589641000000     		ar = 93825.7422572369m²