Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4601 / 3609
↖ ↑ ↗
← N 70.429440°
W 78.903808°		 ← 818.40 m → N 70.429440°
W 78.881836°		 →
↑
818.55 m
↓
↑
818.55 m
↓
N 70.422079°
W 78.903808°		 ← 818.69 m →
670 017 m²		 N 70.422079°
W 78.881836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280853271484375 y=0.220306396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280853271484375 × 214)
    floor (0.280853271484375 × 16384)
    floor (4601.5)     		tx = 4601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220306396484375 × 214)
    floor (0.220306396484375 × 16384)
    floor (3609.5)     		ty = 3609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4601 / 3609 ti = "14/4601/3609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4601/3609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4601 ÷ 214
    4601 ÷ 16384     		x = 0.28082275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3609 ÷ 214
    3609 ÷ 16384     		y = 0.22027587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28082275390625 × 2 - 1) × π
    -0.4383544921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37713125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22027587890625 × 2 - 1) × π
    0.5594482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75755848766974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37713125} λ = -1.37713125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75755848766974))-π/2
    2×atan(5.79826356666371)-π/2
    2×1.40001097275794-π/2
    2.80002194551589-1.57079632675     		φ = 1.22922562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37713125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.903808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22922562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.429440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4601 KachelY 3609 -1.37713125 1.22922562 -78.903808 70.429440
    Oben rechts KachelX + 1 4602 KachelY 3609 -1.37674776 1.22922562 -78.881836 70.429440
    Unten links KachelX 4601 KachelY + 1 3610 -1.37713125 1.22909714 -78.903808 70.422079
    Unten rechts KachelX + 1 4602 KachelY + 1 3610 -1.37674776 1.22909714 -78.881836 70.422079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22922562-1.22909714) × R
    0.000128480000000097 × 6371000     		dl = 818.546080000621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22922562-1.22909714) × R
    0.000128480000000097 × 6371000     		dr = 818.546080000621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37713125--1.37674776) × cos(1.22922562) × R
    0.000383489999999931 × 0.334967471314773 × 6371000     		do = 818.397480085007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37713125--1.37674776) × cos(1.22909714) × R
    0.000383489999999931 × 0.335088526220642 × 6371000     		du = 818.693243221428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22922562)-sin(1.22909714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334967471314773-0.335088526220642)×R²
    abs(-1.37674776--1.37713125)×0.000121054905868667×R²
    0.000383489999999931×0.000121054905868667×6371000²
    0.000383489999999931×0.000121054905868667×40589641000000     		ar = 670017.098005769m²