Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 460 / 316
↖ ↑ ↗
← N 56.559482°
W 18.281250°		 ← 21.542 km → N 56.559482°
W 17.929687°		 →
↑
21.598 km
↓
↑
21.598 km
↓
N 56.365250°
W 18.281250°		 ← 21.653 km →
466.459 km²		 N 56.365250°
W 17.929687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44970703125 y=0.30908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44970703125 × 210)
    floor (0.44970703125 × 1024)
    floor (460.5)     		tx = 460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30908203125 × 210)
    floor (0.30908203125 × 1024)
    floor (316.5)     		ty = 316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 460 / 316 ti = "10/460/316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/460/316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 460 ÷ 210
    460 ÷ 1024     		x = 0.44921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 316 ÷ 210
    316 ÷ 1024     		y = 0.30859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44921875 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30859375 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20264093766797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31906800} λ = -0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20264093766797))-π/2
    2×atan(3.32889673294267)-π/2
    2×1.27897275967083-π/2
    2.55794551934167-1.57079632675     		φ = 0.98714919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98714919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.559482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 460 KachelY 316 -0.31906800 0.98714919 -18.281250 56.559482
    Oben rechts KachelX + 1 461 KachelY 316 -0.31293208 0.98714919 -17.929687 56.559482
    Unten links KachelX 460 KachelY + 1 317 -0.31906800 0.98375920 -18.281250 56.365250
    Unten rechts KachelX + 1 461 KachelY + 1 317 -0.31293208 0.98375920 -17.929687 56.365250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98714919-0.98375920) × R
    0.00338999000000006 × 6371000     		dl = 21597.6262900004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98714919-0.98375920) × R
    0.00338999000000006 × 6371000     		dr = 21597.6262900004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31906800--0.31293208) × cos(0.98714919) × R
    0.00613592000000002 × 0.55107097894133 × 6371000     		do = 21542.4371272844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31906800--0.31293208) × cos(0.98375920) × R
    0.00613592000000002 × 0.553896612603209 × 6371000     		du = 21652.8966467145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98714919)-sin(0.98375920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55107097894133-0.553896612603209)×R²
    abs(-0.31293208--0.31906800)×0.00282563366187838×R²
    0.00613592000000002×0.00282563366187838×6371000²
    0.00613592000000002×0.00282563366187838×40589641000000     		ar = 466458784.874708m²