Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 460 / 211
↖ ↑ ↗
← N 72.073911°
W 18.281250°		 ← 12.032 km → N 72.073911°
W 17.929687°		 →
↑
12.067 km
↓
↑
12.067 km
↓
N 71.965388°
W 18.281250°		 ← 12.103 km →
145.620 km²		 N 71.965388°
W 17.929687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44970703125 y=0.20654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44970703125 × 210)
    floor (0.44970703125 × 1024)
    floor (460.5)     		tx = 460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20654296875 × 210)
    floor (0.20654296875 × 1024)
    floor (211.5)     		ty = 211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 460 / 211 ti = "10/460/211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/460/211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 460 ÷ 210
    460 ÷ 1024     		x = 0.44921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 211 ÷ 210
    211 ÷ 1024     		y = 0.2060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44921875 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2060546875 × 2 - 1) × π
    0.587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84691286856152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31906800} λ = -0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84691286856152))-π/2
    2×atan(6.34021619839872)-π/2
    2×1.41436169351939-π/2
    2.82872338703877-1.57079632675     		φ = 1.25792706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25792706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.073911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 460 KachelY 211 -0.31906800 1.25792706 -18.281250 72.073911
    Oben rechts KachelX + 1 461 KachelY 211 -0.31293208 1.25792706 -17.929687 72.073911
    Unten links KachelX 460 KachelY + 1 212 -0.31906800 1.25603296 -18.281250 71.965388
    Unten rechts KachelX + 1 461 KachelY + 1 212 -0.31293208 1.25603296 -17.929687 71.965388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25792706-1.25603296) × R
    0.00189410000000012 × 6371000     		dl = 12067.3111000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25792706-1.25603296) × R
    0.00189410000000012 × 6371000     		dr = 12067.3111000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31906800--0.31293208) × cos(1.25792706) × R
    0.00613592000000002 × 0.307789876057852 × 6371000     		do = 12032.105312693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31906800--0.31293208) × cos(1.25603296) × R
    0.00613592000000002 × 0.30959147256103 × 6371000     		du = 12102.5332264856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25792706)-sin(1.25603296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307789876057852-0.30959147256103)×R²
    abs(-0.31293208--0.31906800)×0.00180159650317824×R²
    0.00613592000000002×0.00180159650317824×6371000²
    0.00613592000000002×0.00180159650317824×40589641000000     		ar = 145620139.304918m²