Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4599 / 5641
↖ ↑ ↗
← N 75.472375°
W129.473877°		 ← 306.44 m → N 75.472375°
W129.462891°		 →
↑
306.45 m
↓
↑
306.45 m
↓
N 75.469619°
W129.473877°		 ← 306.50 m →
93 917 m²		 N 75.469619°
W129.462891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140365600585938 y=0.172164916992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140365600585938 × 215)
    floor (0.140365600585938 × 32768)
    floor (4599.5)     		tx = 4599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172164916992188 × 215)
    floor (0.172164916992188 × 32768)
    floor (5641.5)     		ty = 5641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4599 / 5641 ti = "15/4599/5641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4599/5641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4599 ÷ 215
    4599 ÷ 32768     		x = 0.140350341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5641 ÷ 215
    5641 ÷ 32768     		y = 0.172149658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140350341796875 × 2 - 1) × π
    -0.71929931640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.25974545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172149658203125 × 2 - 1) × π
    0.65570068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05994445047305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25974545} λ = -2.25974545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05994445047305))-π/2
    2×atan(7.84553398251217)-π/2
    2×1.44401888295431-π/2
    2.88803776590862-1.57079632675     		φ = 1.31724144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25974545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.473877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31724144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.472375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4599 KachelY 5641 -2.25974545 1.31724144 -129.473877 75.472375
    Oben rechts KachelX + 1 4600 KachelY 5641 -2.25955370 1.31724144 -129.462891 75.472375
    Unten links KachelX 4599 KachelY + 1 5642 -2.25974545 1.31719334 -129.473877 75.469619
    Unten rechts KachelX + 1 4600 KachelY + 1 5642 -2.25955370 1.31719334 -129.462891 75.469619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31724144-1.31719334) × R
    4.81000000001064e-05 × 6371000     		dl = 306.445100000678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31724144-1.31719334) × R
    4.81000000001064e-05 × 6371000     		dr = 306.445100000678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25974545--2.25955370) × cos(1.31724144) × R
    0.000191749999999935 × 0.250846762725826 × 6371000     		do = 306.444251081202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25974545--2.25955370) × cos(1.31719334) × R
    0.000191749999999935 × 0.250893324525107 × 6371000     		du = 306.501132802755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31724144)-sin(1.31719334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250846762725826-0.250893324525107)×R²
    abs(-2.25955370--2.25974545)×4.65617992816414e-05×R²
    0.000191749999999935×4.65617992816414e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.65617992816414e-05×40589641000000     		ar = 93917.0547484001m²