Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45963 / 94859
↖ ↑ ↗
← S 62.445054°
W 53.758850°		 ← 141.29 m → S 62.445054°
W 53.756104°		 →
↑
141.25 m
↓
↑
141.25 m
↓
S 62.446324°
W 53.758850°		 ← 141.28 m →
19 956 m²		 S 62.446324°
W 53.756104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.350673675537109 y=0.723720550537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.350673675537109 × 217)
    floor (0.350673675537109 × 131072)
    floor (45963.5)     		tx = 45963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723720550537109 × 217)
    floor (0.723720550537109 × 131072)
    floor (94859.5)     		ty = 94859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45963 / 94859 ti = "17/45963/94859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45963/94859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45963 ÷ 217
    45963 ÷ 131072     		x = 0.350669860839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94859 ÷ 217
    94859 ÷ 131072     		y = 0.723716735839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.350669860839844 × 2 - 1) × π
    -0.298660278320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.93826894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723716735839844 × 2 - 1) × π
    -0.447433471679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.40565370755891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93826894} λ = -0.93826894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40565370755891))-π/2
    2×atan(0.245206710568785)-π/2
    2×0.240462268833642-π/2
    0.480924537667284-1.57079632675     		φ = -1.08987179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93826894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.758850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08987179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.445054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45963 KachelY 94859 -0.93826894 -1.08987179 -53.758850 -62.445054
    Oben rechts KachelX + 1 45964 KachelY 94859 -0.93822100 -1.08987179 -53.756104 -62.445054
    Unten links KachelX 45963 KachelY + 1 94860 -0.93826894 -1.08989396 -53.758850 -62.446324
    Unten rechts KachelX + 1 45964 KachelY + 1 94860 -0.93822100 -1.08989396 -53.756104 -62.446324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08987179--1.08989396) × R
    2.21700000000435e-05 × 6371000     		dl = 141.245070000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08987179--1.08989396) × R
    2.21700000000435e-05 × 6371000     		dr = 141.245070000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93826894--0.93822100) × cos(-1.08987179) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.462599037510569 × 6371000     		do = 141.289653355188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93826894--0.93822100) × cos(-1.08989396) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.462579382192929 × 6371000     		du = 141.283650115253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08987179)-sin(-1.08989396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462599037510569-0.462579382192929)×R²
    abs(-0.93822100--0.93826894)×1.96553176403103e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.96553176403103e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.96553176403103e-05×40589641000000     		ar = 19956.0430151257m²