Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45960 / 94857
↖ ↑ ↗
← S 62.442513°
W 53.767090°		 ← 141.30 m → S 62.442513°
W 53.764343°		 →
↑
141.25 m
↓
↑
141.25 m
↓
S 62.443783°
W 53.767090°		 ← 141.30 m →
19 958 m²		 S 62.443783°
W 53.764343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.350650787353516 y=0.723705291748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.350650787353516 × 217)
    floor (0.350650787353516 × 131072)
    floor (45960.5)     		tx = 45960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723705291748047 × 217)
    floor (0.723705291748047 × 131072)
    floor (94857.5)     		ty = 94857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45960 / 94857 ti = "17/45960/94857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45960/94857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45960 ÷ 217
    45960 ÷ 131072     		x = 0.35064697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94857 ÷ 217
    94857 ÷ 131072     		y = 0.723701477050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35064697265625 × 2 - 1) × π
    -0.2987060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.93841275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723701477050781 × 2 - 1) × π
    -0.447402954101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.40555783375967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93841275} λ = -0.93841275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40555783375967))-π/2
    2×atan(0.245230220594706)-π/2
    2×0.24048444533977-π/2
    0.48096889067954-1.57079632675     		φ = -1.08982744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93841275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.767090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08982744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.442513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45960 KachelY 94857 -0.93841275 -1.08982744 -53.767090 -62.442513
    Oben rechts KachelX + 1 45961 KachelY 94857 -0.93836481 -1.08982744 -53.764343 -62.442513
    Unten links KachelX 45960 KachelY + 1 94858 -0.93841275 -1.08984961 -53.767090 -62.443783
    Unten rechts KachelX + 1 45961 KachelY + 1 94858 -0.93836481 -1.08984961 -53.764343 -62.443783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08982744--1.08984961) × R
    2.21699999998215e-05 × 6371000     		dl = 141.245069998863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08982744--1.08984961) × R
    2.21699999998215e-05 × 6371000     		dr = 141.245069998863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93841275--0.93836481) × cos(-1.08982744) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462638356329196 × 6371000     		do = 141.301662334136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93841275--0.93836481) × cos(-1.08984961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462618701466411 × 6371000     		du = 141.295659233125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08982744)-sin(-1.08984961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462638356329196-0.462618701466411)×R²
    abs(-0.93836481--0.93841275)×1.96548627848236e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96548627848236e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96548627848236e-05×40589641000000     		ar = 19957.7392338204m²