Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4596 / 4788
↖ ↑ ↗
← S 29.075375°
E 21.972656°		 ← 4 270.70 m → S 29.075375°
E 22.016602°		 →
↑
4 269.91 m
↓
↑
4 269.91 m
↓
S 29.113775°
E 21.972656°		 ← 4 269.11 m →
18 232 110 m²		 S 29.113775°
E 22.016602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56109619140625 y=0.58453369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56109619140625 × 213)
    floor (0.56109619140625 × 8192)
    floor (4596.5)     		tx = 4596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58453369140625 × 213)
    floor (0.58453369140625 × 8192)
    floor (4788.5)     		ty = 4788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4596 / 4788 ti = "13/4596/4788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4596/4788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4596 ÷ 213
    4596 ÷ 8192     		x = 0.56103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4788 ÷ 213
    4788 ÷ 8192     		y = 0.58447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56103515625 × 2 - 1) × π
    0.1220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38349520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.530757352593262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38349520} λ = 0.38349520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530757352593262))-π/2
    2×atan(0.588159356942443)-π/2
    2×0.531667649336112-π/2
    1.06333529867222-1.57079632675     		φ = -0.50746103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38349520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.972656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50746103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.075375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4596 KachelY 4788 0.38349520 -0.50746103 21.972656 -29.075375
    Oben rechts KachelX + 1 4597 KachelY 4788 0.38426219 -0.50746103 22.016602 -29.075375
    Unten links KachelX 4596 KachelY + 1 4789 0.38349520 -0.50813124 21.972656 -29.113775
    Unten rechts KachelX + 1 4597 KachelY + 1 4789 0.38426219 -0.50813124 22.016602 -29.113775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50746103--0.50813124) × R
    0.000670210000000004 × 6371000     		dl = 4269.90791000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50746103--0.50813124) × R
    0.000670210000000004 × 6371000     		dr = 4269.90791000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38349520-0.38426219) × cos(-0.50746103) × R
    0.000766990000000023 × 0.873981160683682 × 6371000     		do = 4270.70307726735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38349520-0.38426219) × cos(-0.50813124) × R
    0.000766990000000023 × 0.873655269300004 × 6371000     		du = 4269.11061120774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50746103)-sin(-0.50813124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873981160683682-0.873655269300004)×R²
    abs(0.38426219-0.38349520)×0.000325891383678667×R²
    0.000766990000000023×0.000325891383678667×6371000²
    0.000766990000000023×0.000325891383678667×40589641000000     		ar = 18232109.6916334m²