Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4594 / 4786
↖ ↑ ↗
← S 28.998532°
E 21.884766°		 ← 4 273.88 m → S 28.998532°
E 21.928711°		 →
↑
4 273.09 m
↓
↑
4 273.09 m
↓
S 29.036961°
E 21.884766°		 ← 4 272.29 m →
18 259 310 m²		 S 29.036961°
E 21.928711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56085205078125 y=0.58428955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56085205078125 × 213)
    floor (0.56085205078125 × 8192)
    floor (4594.5)     		tx = 4594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58428955078125 × 213)
    floor (0.58428955078125 × 8192)
    floor (4786.5)     		ty = 4786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4594 / 4786 ti = "13/4594/4786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4594/4786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4594 ÷ 213
    4594 ÷ 8192     		x = 0.560791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4786 ÷ 213
    4786 ÷ 8192     		y = 0.584228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560791015625 × 2 - 1) × π
    0.12158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38196122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584228515625 × 2 - 1) × π
    -0.16845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.52922337180542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38196122} λ = 0.38196122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52922337180542))-π/2
    2×atan(0.589062274448181)-π/2
    2×0.532338234204299-π/2
    1.0646764684086-1.57079632675     		φ = -0.50611986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38196122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.884766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50611986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.998532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4594 KachelY 4786 0.38196122 -0.50611986 21.884766 -28.998532
    Oben rechts KachelX + 1 4595 KachelY 4786 0.38272821 -0.50611986 21.928711 -28.998532
    Unten links KachelX 4594 KachelY + 1 4787 0.38196122 -0.50679057 21.884766 -29.036961
    Unten rechts KachelX + 1 4595 KachelY + 1 4787 0.38272821 -0.50679057 21.928711 -29.036961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50611986--0.50679057) × R
    0.000670710000000074 × 6371000     		dl = 4273.09341000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50611986--0.50679057) × R
    0.000670710000000074 × 6371000     		dr = 4273.09341000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38196122-0.38272821) × cos(-0.50611986) × R
    0.000766990000000023 × 0.874632129167169 × 6371000     		do = 4273.88403039391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38196122-0.38272821) × cos(-0.50679057) × R
    0.000766990000000023 × 0.874306780834714 × 6371000     		du = 4272.29421795046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50611986)-sin(-0.50679057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874632129167169-0.874306780834714)×R²
    abs(0.38272821-0.38196122)×0.0003253483324549×R²
    0.000766990000000023×0.0003253483324549×6371000²
    0.000766990000000023×0.0003253483324549×40589641000000     		ar = 18259309.6613446m²