Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4593 / 4794
↖ ↑ ↗
← S 29.305561°
E 21.840821°		 ← 4 261.13 m → S 29.305561°
E 21.884766°		 →
↑
4 260.35 m
↓
↑
4 260.35 m
↓
S 29.343875°
E 21.840821°		 ← 4 259.53 m →
18 150 497 m²		 S 29.343875°
E 21.884766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56072998046875 y=0.58526611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56072998046875 × 213)
    floor (0.56072998046875 × 8192)
    floor (4593.5)     		tx = 4593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58526611328125 × 213)
    floor (0.58526611328125 × 8192)
    floor (4794.5)     		ty = 4794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4593 / 4794 ti = "13/4593/4794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4593/4794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4593 ÷ 213
    4593 ÷ 8192     		x = 0.5606689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4794 ÷ 213
    4794 ÷ 8192     		y = 0.585205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5606689453125 × 2 - 1) × π
    0.121337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38119423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585205078125 × 2 - 1) × π
    -0.17041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.535359294956787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38119423} λ = 0.38119423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.535359294956787))-π/2
    2×atan(0.585458899920836)-π/2
    2×0.529658896266334-π/2
    1.05931779253267-1.57079632675     		φ = -0.51147853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38119423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.840821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51147853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.305561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4593 KachelY 4794 0.38119423 -0.51147853 21.840821 -29.305561
    Oben rechts KachelX + 1 4594 KachelY 4794 0.38196122 -0.51147853 21.884766 -29.305561
    Unten links KachelX 4593 KachelY + 1 4795 0.38119423 -0.51214724 21.840821 -29.343875
    Unten rechts KachelX + 1 4594 KachelY + 1 4795 0.38196122 -0.51214724 21.884766 -29.343875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51147853--0.51214724) × R
    0.000668710000000017 × 6371000     		dl = 4260.35141000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51147853--0.51214724) × R
    0.000668710000000017 × 6371000     		dr = 4260.35141000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38119423-0.38196122) × cos(-0.51147853) × R
    0.000766989999999967 × 0.872021769272083 × 6371000     		do = 4261.12852428178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38119423-0.38196122) × cos(-0.51214724) × R
    0.000766989999999967 × 0.87169426278523 × 6371000     		du = 4259.52816603134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51147853)-sin(-0.51214724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872021769272083-0.87169426278523)×R²
    abs(0.38196122-0.38119423)×0.000327506486852425×R²
    0.000766989999999967×0.000327506486852425×6371000²
    0.000766989999999967×0.000327506486852425×40589641000000     		ar = 18150496.548719m²