Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4591 / 5616
↖ ↑ ↗
← N 75.541112°
W129.561768°		 ← 305.03 m → N 75.541112°
W129.550781°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
N 75.538369°
W129.561768°		 ← 305.08 m →
93 055 m²		 N 75.538369°
W129.550781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140121459960938 y=0.171401977539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140121459960938 × 215)
    floor (0.140121459960938 × 32768)
    floor (4591.5)     		tx = 4591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171401977539062 × 215)
    floor (0.171401977539062 × 32768)
    floor (5616.5)     		ty = 5616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4591 / 5616 ti = "15/4591/5616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4591/5616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4591 ÷ 215
    4591 ÷ 32768     		x = 0.140106201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5616 ÷ 215
    5616 ÷ 32768     		y = 0.17138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140106201171875 × 2 - 1) × π
    -0.71978759765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.26127943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17138671875 × 2 - 1) × π
    0.6572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06473814043506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26127943} λ = -2.26127943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06473814043506))-π/2
    2×atan(7.88323332730353)-π/2
    2×1.4446187307668-π/2
    2.8892374615336-1.57079632675     		φ = 1.31844113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26127943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.561768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31844113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.541112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4591 KachelY 5616 -2.26127943 1.31844113 -129.561768 75.541112
    Oben rechts KachelX + 1 4592 KachelY 5616 -2.26108768 1.31844113 -129.550781 75.541112
    Unten links KachelX 4591 KachelY + 1 5617 -2.26127943 1.31839325 -129.561768 75.538369
    Unten rechts KachelX + 1 4592 KachelY + 1 5617 -2.26108768 1.31839325 -129.550781 75.538369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31844113-1.31839325) × R
    4.78800000001112e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31844113-1.31839325) × R
    4.78800000001112e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26127943--2.26108768) × cos(1.31844113) × R
    0.000191749999999935 × 0.249685250406381 × 6371000     		do = 305.02530204241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26127943--2.26108768) × cos(1.31839325) × R
    0.000191749999999935 × 0.249731613619316 × 6371000     		du = 305.081941163087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31844113)-sin(1.31839325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249685250406381-0.249731613619316)×R²
    abs(-2.26108768--2.26127943)×4.63632129345803e-05×R²
    0.000191749999999935×4.63632129345803e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.63632129345803e-05×40589641000000     		ar = 93054.6183378911m²