Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4591 / 4787
↖ ↑ ↗
← S 29.036961°
E 21.752929°		 ← 4 272.35 m → S 29.036961°
E 21.796875°		 →
↑
4 271.50 m
↓
↑
4 271.50 m
↓
S 29.075375°
E 21.752929°		 ← 4 270.76 m →
18 245 948 m²		 S 29.075375°
E 21.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56048583984375 y=0.58441162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56048583984375 × 213)
    floor (0.56048583984375 × 8192)
    floor (4591.5)     		tx = 4591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58441162109375 × 213)
    floor (0.58441162109375 × 8192)
    floor (4787.5)     		ty = 4787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4591 / 4787 ti = "13/4591/4787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4591/4787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4591 ÷ 213
    4591 ÷ 8192     		x = 0.5604248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4787 ÷ 213
    4787 ÷ 8192     		y = 0.5843505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5604248046875 × 2 - 1) × π
    0.120849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37966024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5843505859375 × 2 - 1) × π
    -0.168701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.529990362199341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37966024} λ = 0.37966024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.529990362199341))-π/2
    2×atan(0.588610642563057)-π/2
    2×0.532002879359386-π/2
    1.06400575871877-1.57079632675     		φ = -0.50679057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37966024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.752929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50679057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.036961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4591 KachelY 4787 0.37966024 -0.50679057 21.752929 -29.036961
    Oben rechts KachelX + 1 4592 KachelY 4787 0.38042724 -0.50679057 21.796875 -29.036961
    Unten links KachelX 4591 KachelY + 1 4788 0.37966024 -0.50746103 21.752929 -29.075375
    Unten rechts KachelX + 1 4592 KachelY + 1 4788 0.38042724 -0.50746103 21.796875 -29.075375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50679057--0.50746103) × R
    0.000670459999999928 × 6371000     		dl = 4271.50065999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50679057--0.50746103) × R
    0.000670459999999928 × 6371000     		dr = 4271.50065999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37966024-0.38042724) × cos(-0.50679057) × R
    0.000767000000000018 × 0.874306780834714 × 6371000     		do = 4272.34992003544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37966024-0.38042724) × cos(-0.50746103) × R
    0.000767000000000018 × 0.873981160683682 × 6371000     		du = 4270.75875860707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50679057)-sin(-0.50746103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874306780834714-0.873981160683682)×R²
    abs(0.38042724-0.37966024)×0.000325620151031991×R²
    0.000767000000000018×0.000325620151031991×6371000²
    0.000767000000000018×0.000325620151031991×40589641000000     		ar = 18245947.8631214m²