Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4591 / 3599
↖ ↑ ↗
← N 70.502908°
W 79.123535°		 ← 815.44 m → N 70.502908°
W 79.101563°		 →
↑
815.55 m
↓
↑
815.55 m
↓
N 70.495574°
W 79.123535°		 ← 815.74 m →
665 158 m²		 N 70.495574°
W 79.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280242919921875 y=0.219696044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280242919921875 × 214)
    floor (0.280242919921875 × 16384)
    floor (4591.5)     		tx = 4591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219696044921875 × 214)
    floor (0.219696044921875 × 16384)
    floor (3599.5)     		ty = 3599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4591 / 3599 ti = "14/4591/3599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4591/3599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4591 ÷ 214
    4591 ÷ 16384     		x = 0.28021240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3599 ÷ 214
    3599 ÷ 16384     		y = 0.21966552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28021240234375 × 2 - 1) × π
    -0.4395751953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38096620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21966552734375 × 2 - 1) × π
    0.5606689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76139343963934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38096620} λ = -1.38096620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76139343963934))-π/2
    2×atan(5.82054232062046)-π/2
    2×1.40065210563187-π/2
    2.80130421126374-1.57079632675     		φ = 1.23050788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38096620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.123535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23050788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.502908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4591 KachelY 3599 -1.38096620 1.23050788 -79.123535 70.502908
    Oben rechts KachelX + 1 4592 KachelY 3599 -1.38058271 1.23050788 -79.101563 70.502908
    Unten links KachelX 4591 KachelY + 1 3600 -1.38096620 1.23037987 -79.123535 70.495574
    Unten rechts KachelX + 1 4592 KachelY + 1 3600 -1.38058271 1.23037987 -79.101563 70.495574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23050788-1.23037987) × R
    0.000128010000000067 × 6371000     		dl = 815.551710000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23050788-1.23037987) × R
    0.000128010000000067 × 6371000     		dr = 815.551710000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38096620--1.38058271) × cos(1.23050788) × R
    0.000383489999999931 × 0.333759012825367 × 6371000     		do = 815.444956430589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38096620--1.38058271) × cos(1.23037987) × R
    0.000383489999999931 × 0.333879679796468 × 6371000     		du = 815.739771759048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23050788)-sin(1.23037987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333759012825367-0.333879679796468)×R²
    abs(-1.38058271--1.38096620)×0.000120666971101302×R²
    0.000383489999999931×0.000120666971101302×6371000²
    0.000383489999999931×0.000120666971101302×40589641000000     		ar = 665157.748108904m²