Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4590 / 8590
↖ ↑ ↗
← S  8.711359°
W 79.145508°		 ← 2 415.09 m → S  8.711359°
W 79.123535°		 →
↑
2 414.99 m
↓
↑
2 414.99 m
↓
S  8.733077°
W 79.145508°		 ← 2 414.95 m →
5 832 258 m²		 S  8.733077°
W 79.123535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280181884765625 y=0.524322509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280181884765625 × 214)
    floor (0.280181884765625 × 16384)
    floor (4590.5)     		tx = 4590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524322509765625 × 214)
    floor (0.524322509765625 × 16384)
    floor (8590.5)     		ty = 8590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4590 / 8590 ti = "14/4590/8590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4590/8590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4590 ÷ 214
    4590 ÷ 16384     		x = 0.2801513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8590 ÷ 214
    8590 ÷ 16384     		y = 0.5242919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2801513671875 × 2 - 1) × π
    -0.439697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38134970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5242919921875 × 2 - 1) × π
    -0.048583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.152631088390259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38134970} λ = -1.38134970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.152631088390259))-π/2
    2×atan(0.858446354229531)-π/2
    2×0.709377216050093-π/2
    1.41875443210019-1.57079632675     		φ = -0.15204189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38134970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.145508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15204189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.711359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4590 KachelY 8590 -1.38134970 -0.15204189 -79.145508 -8.711359
    Oben rechts KachelX + 1 4591 KachelY 8590 -1.38096620 -0.15204189 -79.123535 -8.711359
    Unten links KachelX 4590 KachelY + 1 8591 -1.38134970 -0.15242095 -79.145508 -8.733077
    Unten rechts KachelX + 1 4591 KachelY + 1 8591 -1.38096620 -0.15242095 -79.123535 -8.733077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15204189--0.15242095) × R
    0.000379059999999987 × 6371000     		dl = 2414.99125999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15204189--0.15242095) × R
    0.000379059999999987 × 6371000     		dr = 2414.99125999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38134970--1.38096620) × cos(-0.15204189) × R
    0.00038349999999987 × 0.988463880671546 × 6371000     		do = 2415.09254767054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38134970--1.38096620) × cos(-0.15242095) × R
    0.00038349999999987 × 0.988406398450945 × 6371000     		du = 2414.95210259681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15204189)-sin(-0.15242095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988463880671546-0.988406398450945)×R²
    abs(-1.38096620--1.38134970)×5.74822206009795e-05×R²
    0.00038349999999987×5.74822206009795e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.74822206009795e-05×40589641000000     		ar = 5832257.87773744m²