Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 459 / 279
↖ ↑ ↗
← N 63.074866°
W 18.632813°		 ← 17.702 km → N 63.074866°
W 18.281250°		 →
↑
17.750 km
↓
↑
17.750 km
↓
N 62.915233°
W 18.632813°		 ← 17.799 km →
315.075 km²		 N 62.915233°
W 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44873046875 y=0.27294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44873046875 × 210)
    floor (0.44873046875 × 1024)
    floor (459.5)     		tx = 459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27294921875 × 210)
    floor (0.27294921875 × 1024)
    floor (279.5)     		ty = 279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 459 / 279 ti = "10/459/279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/459/279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 459 ÷ 210
    459 ÷ 1024     		x = 0.4482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 279 ÷ 210
    279 ÷ 1024     		y = 0.2724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4482421875 × 2 - 1) × π
    -0.103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32520393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2724609375 × 2 - 1) × π
    0.455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42967009426855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32520393} λ = -0.32520393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42967009426855))-π/2
    2×atan(4.17732084248504)-π/2
    2×1.33583020416517-π/2
    2.67166040833034-1.57079632675     		φ = 1.10086408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32520393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.632813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10086408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.074866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 459 KachelY 279 -0.32520393 1.10086408 -18.632813 63.074866
    Oben rechts KachelX + 1 460 KachelY 279 -0.31906800 1.10086408 -18.281250 63.074866
    Unten links KachelX 459 KachelY + 1 280 -0.32520393 1.09807797 -18.632813 62.915233
    Unten rechts KachelX + 1 460 KachelY + 1 280 -0.31906800 1.09807797 -18.281250 62.915233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10086408-1.09807797) × R
    0.00278610999999995 × 6371000     		dl = 17750.3068099997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10086408-1.09807797) × R
    0.00278610999999995 × 6371000     		dr = 17750.3068099997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32520393--0.31906800) × cos(1.10086408) × R
    0.00613592999999996 × 0.452825877730534 × 6371000     		do = 17701.8737540855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32520393--0.31906800) × cos(1.09807797) × R
    0.00613592999999996 × 0.455308209816203 × 6371000     		du = 17798.9131048762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10086408)-sin(1.09807797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452825877730534-0.455308209816203)×R²
    abs(-0.31906800--0.32520393)×0.00248233208566917×R²
    0.00613592999999996×0.00248233208566917×6371000²
    0.00613592999999996×0.00248233208566917×40589641000000     		ar = 315075133.183351m²