Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4588 / 5657
↖ ↑ ↗
← N 75.428216°
W129.594726°		 ← 307.36 m → N 75.428216°
W129.583740°		 →
↑
307.40 m
↓
↑
307.40 m
↓
N 75.425451°
W129.594726°		 ← 307.41 m →
94 490 m²		 N 75.425451°
W129.583740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140029907226562 y=0.172653198242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140029907226562 × 215)
    floor (0.140029907226562 × 32768)
    floor (4588.5)     		tx = 4588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172653198242188 × 215)
    floor (0.172653198242188 × 32768)
    floor (5657.5)     		ty = 5657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4588 / 5657 ti = "15/4588/5657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4588/5657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4588 ÷ 215
    4588 ÷ 32768     		x = 0.1400146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5657 ÷ 215
    5657 ÷ 32768     		y = 0.172637939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1400146484375 × 2 - 1) × π
    -0.719970703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.26185467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172637939453125 × 2 - 1) × π
    0.65472412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05687648889737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26185467} λ = -2.26185467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05687648889737))-π/2
    2×atan(7.82150107058886)-π/2
    2×1.44363351691626-π/2
    2.88726703383252-1.57079632675     		φ = 1.31647071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26185467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.594726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31647071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.428216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4588 KachelY 5657 -2.26185467 1.31647071 -129.594726 75.428216
    Oben rechts KachelX + 1 4589 KachelY 5657 -2.26166292 1.31647071 -129.583740 75.428216
    Unten links KachelX 4588 KachelY + 1 5658 -2.26185467 1.31642246 -129.594726 75.425451
    Unten rechts KachelX + 1 4589 KachelY + 1 5658 -2.26166292 1.31642246 -129.583740 75.425451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31647071-1.31642246) × R
    4.82499999998609e-05 × 6371000     		dl = 307.400749999114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31647071-1.31642246) × R
    4.82499999998609e-05 × 6371000     		dr = 307.400749999114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26185467--2.26166292) × cos(1.31647071) × R
    0.000191749999999935 × 0.251592775449351 × 6371000     		do = 307.35560950526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26185467--2.26166292) × cos(1.31642246) × R
    0.000191749999999935 × 0.251639473107681 × 6371000     		du = 307.412657197559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31647071)-sin(1.31642246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251592775449351-0.251639473107681)×R²
    abs(-2.26166292--2.26185467)×4.66976583299306e-05×R²
    0.000191749999999935×4.66976583299306e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.66976583299306e-05×40589641000000     		ar = 94490.1131487116m²