Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4587 / 5659
↖ ↑ ↗
← N 75.422686°
W129.605713°		 ← 307.47 m → N 75.422686°
W129.594726°		 →
↑
307.46 m
↓
↑
307.46 m
↓
N 75.419921°
W129.605713°		 ← 307.53 m →
94 545 m²		 N 75.419921°
W129.594726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139999389648438 y=0.172714233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139999389648438 × 215)
    floor (0.139999389648438 × 32768)
    floor (4587.5)     		tx = 4587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172714233398438 × 215)
    floor (0.172714233398438 × 32768)
    floor (5659.5)     		ty = 5659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4587 / 5659 ti = "15/4587/5659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4587/5659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4587 ÷ 215
    4587 ÷ 32768     		x = 0.139984130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5659 ÷ 215
    5659 ÷ 32768     		y = 0.172698974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139984130859375 × 2 - 1) × π
    -0.72003173828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.26204642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172698974609375 × 2 - 1) × π
    0.65460205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.05649299370041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26204642} λ = -2.26204642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05649299370041))-π/2
    2×atan(7.81850213757023)-π/2
    2×1.4435852656514-π/2
    2.8871705313028-1.57079632675     		φ = 1.31637420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26204642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.605713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31637420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.422686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4587 KachelY 5659 -2.26204642 1.31637420 -129.605713 75.422686
    Oben rechts KachelX + 1 4588 KachelY 5659 -2.26185467 1.31637420 -129.594726 75.422686
    Unten links KachelX 4587 KachelY + 1 5660 -2.26204642 1.31632594 -129.605713 75.419921
    Unten rechts KachelX + 1 4588 KachelY + 1 5660 -2.26185467 1.31632594 -129.594726 75.419921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31637420-1.31632594) × R
    4.82600000000222e-05 × 6371000     		dl = 307.464460000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31637420-1.31632594) × R
    4.82600000000222e-05 × 6371000     		dr = 307.464460000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26204642--2.26185467) × cos(1.31637420) × R
    0.000191749999999935 × 0.251686179858268 × 6371000     		do = 307.469715997315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26204642--2.26185467) × cos(1.31632594) × R
    0.000191749999999935 × 0.25173288602267 × 6371000     		du = 307.526774080966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31637420)-sin(1.31632594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251686179858268-0.25173288602267)×R²
    abs(-2.26185467--2.26204642)×4.67061644026101e-05×R²
    0.000191749999999935×4.67061644026101e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.67061644026101e-05×40589641000000     		ar = 94544.7818799166m²