Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4586 / 12958
↖ ↑ ↗
← S 71.732662°
W 79.233398°		 ← 765.83 m → S 71.732662°
W 79.211426°		 →
↑
765.73 m
↓
↑
765.73 m
↓
S 71.739548°
W 79.233398°		 ← 765.55 m →
586 312 m²		 S 71.739548°
W 79.211426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279937744140625 y=0.790924072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279937744140625 × 214)
    floor (0.279937744140625 × 16384)
    floor (4586.5)     		tx = 4586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.790924072265625 × 214)
    floor (0.790924072265625 × 16384)
    floor (12958.5)     		ty = 12958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4586 / 12958 ti = "14/4586/12958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4586/12958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4586 ÷ 214
    4586 ÷ 16384     		x = 0.2799072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12958 ÷ 214
    12958 ÷ 16384     		y = 0.7908935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.440185546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38288368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7908935546875 × 2 - 1) × π
    -0.581787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.8277381087135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38288368} λ = -1.38288368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8277381087135))-π/2
    2×atan(0.160776816486037)-π/2
    2×0.159412596632521-π/2
    0.318825193265041-1.57079632675     		φ = -1.25197113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38288368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.233398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25197113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.732662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4586 KachelY 12958 -1.38288368 -1.25197113 -79.233398 -71.732662
    Oben rechts KachelX + 1 4587 KachelY 12958 -1.38250019 -1.25197113 -79.211426 -71.732662
    Unten links KachelX 4586 KachelY + 1 12959 -1.38288368 -1.25209132 -79.233398 -71.739548
    Unten rechts KachelX + 1 4587 KachelY + 1 12959 -1.38250019 -1.25209132 -79.211426 -71.739548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25197113--1.25209132) × R
    0.000120189999999853 × 6371000     		dl = 765.730489999066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25197113--1.25209132) × R
    0.000120189999999853 × 6371000     		dr = 765.730489999066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38288368--1.38250019) × cos(-1.25197113) × R
    0.000383489999999931 × 0.313451178984603 × 6371000     		do = 765.828556437982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38288368--1.38250019) × cos(-1.25209132) × R
    0.000383489999999931 × 0.313337043778047 × 6371000     		du = 765.549699613264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25197113)-sin(-1.25209132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313451178984603-0.313337043778047)×R²
    abs(-1.38250019--1.38288368)×0.000114135206556232×R²
    0.000383489999999931×0.000114135206556232×6371000²
    0.000383489999999931×0.000114135206556232×40589641000000     		ar = 586311.511895607m²