Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4585 / 3835
↖ ↑ ↗
← N 11.393879°
E 21.489258°		 ← 4 790.19 m → N 11.393879°
E 21.533203°		 →
↑
4 790.55 m
↓
↑
4 790.55 m
↓
N 11.350797°
E 21.489258°		 ← 4 790.92 m →
22 949 370 m²		 N 11.350797°
E 21.533203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55975341796875 y=0.46820068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55975341796875 × 213)
    floor (0.55975341796875 × 8192)
    floor (4585.5)     		tx = 4585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46820068359375 × 213)
    floor (0.46820068359375 × 8192)
    floor (3835.5)     		ty = 3835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4585 / 3835 ti = "13/4585/3835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4585/3835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4585 ÷ 213
    4585 ÷ 8192     		x = 0.5596923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3835 ÷ 213
    3835 ÷ 8192     		y = 0.4681396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5596923828125 × 2 - 1) × π
    0.119384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37505830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4681396484375 × 2 - 1) × π
    0.063720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.200184492813354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37505830} λ = 0.37505830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.200184492813354))-π/2
    2×atan(1.22162811897935)-π/2
    2×0.884828516989588-π/2
    1.76965703397918-1.57079632675     		φ = 0.19886071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37505830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.489258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19886071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.393879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4585 KachelY 3835 0.37505830 0.19886071 21.489258 11.393879
    Oben rechts KachelX + 1 4586 KachelY 3835 0.37582529 0.19886071 21.533203 11.393879
    Unten links KachelX 4585 KachelY + 1 3836 0.37505830 0.19810878 21.489258 11.350797
    Unten rechts KachelX + 1 4586 KachelY + 1 3836 0.37582529 0.19810878 21.533203 11.350797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19886071-0.19810878) × R
    0.000751929999999984 × 6371000     		dl = 4790.5460299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19886071-0.19810878) × R
    0.000751929999999984 × 6371000     		dr = 4790.5460299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37505830-0.37582529) × cos(0.19886071) × R
    0.000766989999999967 × 0.980292283719984 × 6371000     		do = 4790.19166663627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37505830-0.37582529) × cos(0.19810878) × R
    0.000766989999999967 × 0.980440552321094 × 6371000     		du = 4790.91618016072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19886071)-sin(0.19810878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980292283719984-0.980440552321094)×R²
    abs(0.37582529-0.37505830)×0.000148268601109947×R²
    0.000766989999999967×0.000148268601109947×6371000²
    0.000766989999999967×0.000148268601109947×40589641000000     		ar = 22949370.1605324m²