Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4585 / 3829
↖ ↑ ↗
← N 11.652236°
E 21.489258°		 ← 4 785.79 m → N 11.652236°
E 21.533203°		 →
↑
4 786.15 m
↓
↑
4 786.15 m
↓
N 11.609193°
E 21.489258°		 ← 4 786.53 m →
22 907 282 m²		 N 11.609193°
E 21.533203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55975341796875 y=0.46746826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55975341796875 × 213)
    floor (0.55975341796875 × 8192)
    floor (4585.5)     		tx = 4585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46746826171875 × 213)
    floor (0.46746826171875 × 8192)
    floor (3829.5)     		ty = 3829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4585 / 3829 ti = "13/4585/3829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4585/3829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4585 ÷ 213
    4585 ÷ 8192     		x = 0.5596923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3829 ÷ 213
    3829 ÷ 8192     		y = 0.4674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5596923828125 × 2 - 1) × π
    0.119384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37505830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4674072265625 × 2 - 1) × π
    0.065185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.20478643517688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37505830} λ = 0.37505830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.20478643517688))-π/2
    2×atan(1.22726293678148)-π/2
    2×0.887083108630861-π/2
    1.77416621726172-1.57079632675     		φ = 0.20336989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37505830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.489258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20336989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.652236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4585 KachelY 3829 0.37505830 0.20336989 21.489258 11.652236
    Oben rechts KachelX + 1 4586 KachelY 3829 0.37582529 0.20336989 21.533203 11.652236
    Unten links KachelX 4585 KachelY + 1 3830 0.37505830 0.20261865 21.489258 11.609193
    Unten rechts KachelX + 1 4586 KachelY + 1 3830 0.37582529 0.20261865 21.533203 11.609193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20336989-0.20261865) × R
    0.000751239999999986 × 6371000     		dl = 4786.15003999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20336989-0.20261865) × R
    0.000751239999999986 × 6371000     		dr = 4786.15003999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37505830-0.37582529) × cos(0.20336989) × R
    0.000766989999999967 × 0.979391520426746 × 6371000     		do = 4785.79009284799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37505830-0.37582529) × cos(0.20261865) × R
    0.000766989999999967 × 0.979542972675751 × 6371000     		du = 4786.53016324651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20336989)-sin(0.20261865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979391520426746-0.979542972675751)×R²
    abs(0.37582529-0.37505830)×0.000151452249005035×R²
    0.000766989999999967×0.000151452249005035×6371000²
    0.000766989999999967×0.000151452249005035×40589641000000     		ar = 22907281.5656319m²