Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4583 / 4775
↖ ↑ ↗
← S 28.574874°
E 21.401367°		 ← 4 291.28 m → S 28.574874°
E 21.445312°		 →
↑
4 290.49 m
↓
↑
4 290.49 m
↓
S 28.613460°
E 21.401367°		 ← 4 289.71 m →
18 408 314 m²		 S 28.613460°
E 21.445312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55950927734375 y=0.58294677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55950927734375 × 213)
    floor (0.55950927734375 × 8192)
    floor (4583.5)     		tx = 4583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58294677734375 × 213)
    floor (0.58294677734375 × 8192)
    floor (4775.5)     		ty = 4775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4583 / 4775 ti = "13/4583/4775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4583/4775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4583 ÷ 213
    4583 ÷ 8192     		x = 0.5594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4775 ÷ 213
    4775 ÷ 8192     		y = 0.5828857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5594482421875 × 2 - 1) × π
    0.118896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37352432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5828857421875 × 2 - 1) × π
    -0.165771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.52078647747229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37352432} λ = 0.37352432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52078647747229))-π/2
    2×atan(0.594053154773604)-π/2
    2×0.53603534566867-π/2
    1.07207069133734-1.57079632675     		φ = -0.49872564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37352432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.401367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49872564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.574874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4583 KachelY 4775 0.37352432 -0.49872564 21.401367 -28.574874
    Oben rechts KachelX + 1 4584 KachelY 4775 0.37429131 -0.49872564 21.445312 -28.574874
    Unten links KachelX 4583 KachelY + 1 4776 0.37352432 -0.49939908 21.401367 -28.613460
    Unten rechts KachelX + 1 4584 KachelY + 1 4776 0.37429131 -0.49939908 21.445312 -28.613460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49872564--0.49939908) × R
    0.00067343999999997 × 6371000     		dl = 4290.48623999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49872564--0.49939908) × R
    0.00067343999999997 × 6371000     		dr = 4290.48623999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37352432-0.37429131) × cos(-0.49872564) × R
    0.000766989999999967 × 0.87819280986033 × 6371000     		do = 4291.28327270857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37352432-0.37429131) × cos(-0.49939908) × R
    0.000766989999999967 × 0.877870499818039 × 6371000     		du = 4289.70830684961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49872564)-sin(-0.49939908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87819280986033-0.877870499818039)×R²
    abs(0.37429131-0.37352432)×0.000322310042291774×R²
    0.000766989999999967×0.000322310042291774×6371000²
    0.000766989999999967×0.000322310042291774×40589641000000     		ar = 18408313.8445386m²