Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4582 / 5642
↖ ↑ ↗
← N 75.469619°
W129.660645°		 ← 306.50 m → N 75.469619°
W129.649658°		 →
↑
306.57 m
↓
↑
306.57 m
↓
N 75.466862°
W129.660645°		 ← 306.56 m →
93 974 m²		 N 75.466862°
W129.649658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139846801757812 y=0.172195434570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139846801757812 × 215)
    floor (0.139846801757812 × 32768)
    floor (4582.5)     		tx = 4582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172195434570312 × 215)
    floor (0.172195434570312 × 32768)
    floor (5642.5)     		ty = 5642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4582 / 5642 ti = "15/4582/5642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4582/5642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4582 ÷ 215
    4582 ÷ 32768     		x = 0.13983154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5642 ÷ 215
    5642 ÷ 32768     		y = 0.17218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13983154296875 × 2 - 1) × π
    -0.7203369140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.26300516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17218017578125 × 2 - 1) × π
    0.6556396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05975270287457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26300516} λ = -2.26300516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05975270287457))-π/2
    2×atan(7.84402976443194)-π/2
    2×1.44399483108992-π/2
    2.88798966217984-1.57079632675     		φ = 1.31719334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26300516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.660645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31719334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.469619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4582 KachelY 5642 -2.26300516 1.31719334 -129.660645 75.469619
    Oben rechts KachelX + 1 4583 KachelY 5642 -2.26281341 1.31719334 -129.649658 75.469619
    Unten links KachelX 4582 KachelY + 1 5643 -2.26300516 1.31714522 -129.660645 75.466862
    Unten rechts KachelX + 1 4583 KachelY + 1 5643 -2.26281341 1.31714522 -129.649658 75.466862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31719334-1.31714522) × R
    4.81199999999848e-05 × 6371000     		dl = 306.572519999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31719334-1.31714522) × R
    4.81199999999848e-05 × 6371000     		dr = 306.572519999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26300516--2.26281341) × cos(1.31719334) × R
    0.000191749999999935 × 0.250893324525107 × 6371000     		do = 306.501132802755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26300516--2.26281341) × cos(1.31714522) × R
    0.000191749999999935 × 0.250939905103973 × 6371000     		du = 306.558037466185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31719334)-sin(1.31714522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250893324525107-0.250939905103973)×R²
    abs(-2.26281341--2.26300516)×4.65805788656404e-05×R²
    0.000191749999999935×4.65805788656404e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.65805788656404e-05×40589641000000     		ar = 93973.5473868748m²