Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4581 / 3621
↖ ↑ ↗
← N 70.340927°
W 79.343262°		 ← 821.97 m → N 70.340927°
W 79.321289°		 →
↑
822.11 m
↓
↑
822.11 m
↓
N 70.333533°
W 79.343262°		 ← 822.27 m →
675 878 m²		 N 70.333533°
W 79.321289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279632568359375 y=0.221038818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279632568359375 × 214)
    floor (0.279632568359375 × 16384)
    floor (4581.5)     		tx = 4581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221038818359375 × 214)
    floor (0.221038818359375 × 16384)
    floor (3621.5)     		ty = 3621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4581 / 3621 ti = "14/4581/3621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4581/3621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4581 ÷ 214
    4581 ÷ 16384     		x = 0.27960205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3621 ÷ 214
    3621 ÷ 16384     		y = 0.22100830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27960205078125 × 2 - 1) × π
    -0.4407958984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38480116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22100830078125 × 2 - 1) × π
    0.5579833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.75295654530621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38480116} λ = -1.38480116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75295654530621))-π/2
    2×atan(5.77164159529336)-π/2
    2×1.39923854912539-π/2
    2.79847709825078-1.57079632675     		φ = 1.22768077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38480116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.343262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22768077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.340927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4581 KachelY 3621 -1.38480116 1.22768077 -79.343262 70.340927
    Oben rechts KachelX + 1 4582 KachelY 3621 -1.38441766 1.22768077 -79.321289 70.340927
    Unten links KachelX 4581 KachelY + 1 3622 -1.38480116 1.22755173 -79.343262 70.333533
    Unten rechts KachelX + 1 4582 KachelY + 1 3622 -1.38441766 1.22755173 -79.321289 70.333533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22768077-1.22755173) × R
    0.000129040000000025 × 6371000     		dl = 822.113840000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22768077-1.22755173) × R
    0.000129040000000025 × 6371000     		dr = 822.113840000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38480116--1.38441766) × cos(1.22768077) × R
    0.000383500000000092 × 0.336422674565872 × 6371000     		do = 821.974287679489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38480116--1.38441766) × cos(1.22755173) × R
    0.000383500000000092 × 0.336544190164127 × 6371000     		du = 822.271184128121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22768077)-sin(1.22755173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336422674565872-0.336544190164127)×R²
    abs(-1.38441766--1.38480116)×0.000121515598255517×R²
    0.000383500000000092×0.000121515598255517×6371000²
    0.000383500000000092×0.000121515598255517×40589641000000     		ar = 675878.48030426m²