Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 458 / 294
↖ ↑ ↗
← N 60.586967°
W 18.984375°		 ← 19.198 km → N 60.586967°
W 18.632813°		 →
↑
19.249 km
↓
↑
19.249 km
↓
N 60.413853°
W 18.984375°		 ← 19.301 km →
370.543 km²		 N 60.413853°
W 18.632813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44775390625 y=0.28759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44775390625 × 210)
    floor (0.44775390625 × 1024)
    floor (458.5)     		tx = 458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28759765625 × 210)
    floor (0.28759765625 × 1024)
    floor (294.5)     		ty = 294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 458 / 294 ti = "10/458/294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/458/294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 458 ÷ 210
    458 ÷ 1024     		x = 0.447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 294 ÷ 210
    294 ÷ 1024     		y = 0.287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447265625 × 2 - 1) × π
    -0.10546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33133985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287109375 × 2 - 1) × π
    0.42578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.33763124699805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33133985} λ = -0.33133985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33763124699805))-π/2
    2×atan(3.81000784045252)-π/2
    2×1.31411919534841-π/2
    2.62823839069681-1.57079632675     		φ = 1.05744206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33133985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.984375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05744206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.586967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 458 KachelY 294 -0.33133985 1.05744206 -18.984375 60.586967
    Oben rechts KachelX + 1 459 KachelY 294 -0.32520393 1.05744206 -18.632813 60.586967
    Unten links KachelX 458 KachelY + 1 295 -0.33133985 1.05442064 -18.984375 60.413853
    Unten rechts KachelX + 1 459 KachelY + 1 295 -0.32520393 1.05442064 -18.632813 60.413853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05744206-1.05442064) × R
    0.00302142000000005 × 6371000     		dl = 19249.4668200003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05744206-1.05442064) × R
    0.00302142000000005 × 6371000     		dr = 19249.4668200003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33133985--0.32520393) × cos(1.05744206) × R
    0.00613592000000002 × 0.491101913051552 × 6371000     		do = 19198.1296226606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33133985--0.32520393) × cos(1.05442064) × R
    0.00613592000000002 × 0.493731632799719 × 6371000     		du = 19300.9304858926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05744206)-sin(1.05442064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491101913051552-0.493731632799719)×R²
    abs(-0.32520393--0.33133985)×0.00262971974816756×R²
    0.00613592000000002×0.00262971974816756×6371000²
    0.00613592000000002×0.00262971974816756×40589641000000     		ar = 370543471.970731m²