Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 458 / 230
↖ ↑ ↗
← N 69.900118°
W 18.984375°		 ← 13.434 km → N 69.900118°
W 18.632813°		 →
↑
13.473 km
↓
↑
13.473 km
↓
N 69.778952°
W 18.984375°		 ← 13.512 km →
181.523 km²		 N 69.778952°
W 18.632813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44775390625 y=0.22509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44775390625 × 210)
    floor (0.44775390625 × 1024)
    floor (458.5)     		tx = 458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22509765625 × 210)
    floor (0.22509765625 × 1024)
    floor (230.5)     		ty = 230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 458 / 230 ti = "10/458/230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/458/230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 458 ÷ 210
    458 ÷ 1024     		x = 0.447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 230 ÷ 210
    230 ÷ 1024     		y = 0.224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447265625 × 2 - 1) × π
    -0.10546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33133985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224609375 × 2 - 1) × π
    0.55078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73033032868555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33133985} λ = -0.33133985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73033032868555))-π/2
    2×atan(5.64251748599914)-π/2
    2×1.39539176344744-π/2
    2.79078352689489-1.57079632675     		φ = 1.21998720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33133985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.984375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21998720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.900118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 458 KachelY 230 -0.33133985 1.21998720 -18.984375 69.900118
    Oben rechts KachelX + 1 459 KachelY 230 -0.32520393 1.21998720 -18.632813 69.900118
    Unten links KachelX 458 KachelY + 1 231 -0.33133985 1.21787246 -18.984375 69.778952
    Unten rechts KachelX + 1 459 KachelY + 1 231 -0.32520393 1.21787246 -18.632813 69.778952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21998720-1.21787246) × R
    0.00211474000000011 × 6371000     		dl = 13473.0085400007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21998720-1.21787246) × R
    0.00211474000000011 × 6371000     		dr = 13473.0085400007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33133985--0.32520393) × cos(1.21998720) × R
    0.00613592000000002 × 0.343657766759656 × 6371000     		do = 13434.2509706196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33133985--0.32520393) × cos(1.21787246) × R
    0.00613592000000002 × 0.345642938510007 × 6371000     		du = 13511.8551981203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21998720)-sin(1.21787246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343657766759656-0.345642938510007)×R²
    abs(-0.32520393--0.33133985)×0.00198517175035123×R²
    0.00613592000000002×0.00198517175035123×6371000²
    0.00613592000000002×0.00198517175035123×40589641000000     		ar = 181522626.914935m²