Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4579 / 4766
↖ ↑ ↗
← S 28.226970°
E 21.225586°		 ← 4 305.40 m → S 28.226970°
E 21.269531°		 →
↑
4 304.63 m
↓
↑
4 304.63 m
↓
S 28.265682°
E 21.225586°		 ← 4 303.83 m →
18 529 774 m²		 S 28.265682°
E 21.269531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55902099609375 y=0.58184814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55902099609375 × 213)
    floor (0.55902099609375 × 8192)
    floor (4579.5)     		tx = 4579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58184814453125 × 213)
    floor (0.58184814453125 × 8192)
    floor (4766.5)     		ty = 4766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4579 / 4766 ti = "13/4579/4766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4579/4766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4579 ÷ 213
    4579 ÷ 8192     		x = 0.5589599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4766 ÷ 213
    4766 ÷ 8192     		y = 0.581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5589599609375 × 2 - 1) × π
    0.117919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37045636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.16357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.513883563927002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37045636} λ = 0.37045636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513883563927002))-π/2
    2×atan(0.598168038345507)-π/2
    2×0.53907138088346-π/2
    1.07814276176692-1.57079632675     		φ = -0.49265356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37045636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.225586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49265356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.226970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4579 KachelY 4766 0.37045636 -0.49265356 21.225586 -28.226970
    Oben rechts KachelX + 1 4580 KachelY 4766 0.37122335 -0.49265356 21.269531 -28.226970
    Unten links KachelX 4579 KachelY + 1 4767 0.37045636 -0.49332922 21.225586 -28.265682
    Unten rechts KachelX + 1 4580 KachelY + 1 4767 0.37122335 -0.49332922 21.269531 -28.265682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49265356--0.49332922) × R
    0.000675660000000022 × 6371000     		dl = 4304.62986000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49265356--0.49332922) × R
    0.000675660000000022 × 6371000     		dr = 4304.62986000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37045636-0.37122335) × cos(-0.49265356) × R
    0.000766990000000023 × 0.881080919624945 × 6371000     		do = 4305.39600169445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37045636-0.37122335) × cos(-0.49332922) × R
    0.000766990000000023 × 0.880761154630661 × 6371000     		du = 4303.83347219551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49265356)-sin(-0.49332922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881080919624945-0.880761154630661)×R²
    abs(0.37122335-0.37045636)×0.000319764994284322×R²
    0.000766990000000023×0.000319764994284322×6371000²
    0.000766990000000023×0.000319764994284322×40589641000000     		ar = 18529773.8373793m²