Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4578 / 12965
↖ ↑ ↗
← S 71.780812°
W 79.409180°		 ← 763.88 m → S 71.780812°
W 79.387207°		 →
↑
763.76 m
↓
↑
763.76 m
↓
S 71.787681°
W 79.409180°		 ← 763.60 m →
583 310 m²		 S 71.787681°
W 79.387207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279449462890625 y=0.791351318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279449462890625 × 214)
    floor (0.279449462890625 × 16384)
    floor (4578.5)     		tx = 4578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791351318359375 × 214)
    floor (0.791351318359375 × 16384)
    floor (12965.5)     		ty = 12965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4578 / 12965 ti = "14/4578/12965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4578/12965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4578 ÷ 214
    4578 ÷ 16384     		x = 0.2794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12965 ÷ 214
    12965 ÷ 16384     		y = 0.79132080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2794189453125 × 2 - 1) × π
    -0.441162109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38595164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79132080078125 × 2 - 1) × π
    -0.5826416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.83042257509222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38595164} λ = -1.38595164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.83042257509222))-π/2
    2×atan(0.160345795317461)-π/2
    2×0.158992407906968-π/2
    0.317984815813936-1.57079632675     		φ = -1.25281151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38595164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.409180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25281151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.780812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4578 KachelY 12965 -1.38595164 -1.25281151 -79.409180 -71.780812
    Oben rechts KachelX + 1 4579 KachelY 12965 -1.38556815 -1.25281151 -79.387207 -71.780812
    Unten links KachelX 4578 KachelY + 1 12966 -1.38595164 -1.25293139 -79.409180 -71.787681
    Unten rechts KachelX + 1 4579 KachelY + 1 12966 -1.38556815 -1.25293139 -79.387207 -71.787681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25281151--1.25293139) × R
    0.000119880000000183 × 6371000     		dl = 763.755480001167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25281151--1.25293139) × R
    0.000119880000000183 × 6371000     		dr = 763.755480001167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38595164--1.38556815) × cos(-1.25281151) × R
    0.000383489999999931 × 0.312653039917179 × 6371000     		do = 763.878531263975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38595164--1.38556815) × cos(-1.25293139) × R
    0.000383489999999931 × 0.312539167566998 × 6371000     		du = 763.60031665384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25281151)-sin(-1.25293139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312653039917179-0.312539167566998)×R²
    abs(-1.38556815--1.38595164)×0.000113872350181288×R²
    0.000383489999999931×0.000113872350181288×6371000²
    0.000383489999999931×0.000113872350181288×40589641000000     		ar = 583310.171038548m²