Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4577 / 4897
↖ ↑ ↗
← S 33.174342°
E 21.137695°		 ← 4 090.04 m → S 33.174342°
E 21.181641°		 →
↑
4 089.16 m
↓
↑
4 089.16 m
↓
S 33.211116°
E 21.137695°		 ← 4 088.32 m →
16 721 333 m²		 S 33.211116°
E 21.181641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55877685546875 y=0.59783935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55877685546875 × 213)
    floor (0.55877685546875 × 8192)
    floor (4577.5)     		tx = 4577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59783935546875 × 213)
    floor (0.59783935546875 × 8192)
    floor (4897.5)     		ty = 4897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4577 / 4897 ti = "13/4577/4897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4577/4897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4577 ÷ 213
    4577 ÷ 8192     		x = 0.5587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4897 ÷ 213
    4897 ÷ 8192     		y = 0.5977783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5587158203125 × 2 - 1) × π
    0.117431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36892238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5977783203125 × 2 - 1) × π
    -0.195556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.61435930553064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36892238} λ = 0.36892238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.61435930553064))-π/2
    2×atan(0.540987391928232)-π/2
    2×0.495897419781723-π/2
    0.991794839563446-1.57079632675     		φ = -0.57900149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36892238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.137695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57900149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.174342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4577 KachelY 4897 0.36892238 -0.57900149 21.137695 -33.174342
    Oben rechts KachelX + 1 4578 KachelY 4897 0.36968937 -0.57900149 21.181641 -33.174342
    Unten links KachelX 4577 KachelY + 1 4898 0.36892238 -0.57964333 21.137695 -33.211116
    Unten rechts KachelX + 1 4578 KachelY + 1 4898 0.36968937 -0.57964333 21.181641 -33.211116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57900149--0.57964333) × R
    0.000641840000000005 × 6371000     		dl = 4089.16264000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57900149--0.57964333) × R
    0.000641840000000005 × 6371000     		dr = 4089.16264000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36892238-0.36968937) × cos(-0.57900149) × R
    0.000766990000000023 × 0.837009440219494 × 6371000     		do = 4090.04101329934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36892238-0.36968937) × cos(-0.57964333) × R
    0.000766990000000023 × 0.836658060403913 × 6371000     		du = 4088.32399818826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57900149)-sin(-0.57964333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837009440219494-0.836658060403913)×R²
    abs(0.36968937-0.36892238)×0.000351379815581088×R²
    0.000766990000000023×0.000351379815581088×6371000²
    0.000766990000000023×0.000351379815581088×40589641000000     		ar = 16721332.9046703m²